Maksimumo kaj minimumo: Malsamoj inter versioj

fleksia punkto -> trafleksa punkto, Kritika punkto -> Krita punkto
e (robota aldono de: sv:Extremum)
(fleksia punkto -> trafleksa punkto, Kritika punkto -> Krita punkto)
 
[[Dosiero:MaximumCounterexample.png|thumb|400px|right|La sola loka minimumo (0, 0) ne estas malloka minimumo]]
Se la funkcio estas [[diferencialebla]], ĝia lokaj ekstremumoj povas troviĝi nur en [[kritikakrita punkto (matematiko)|kritikajkritaj punktoj]] ([[senmova punkto|senmovaj punktoj]]). Por funkcio de unu argumento ĉi tio estas punktoj kie la unua derivaĵo estas nula. Por funkcio de multaj argumentoj ĉi tio simile estas punktoj kie la unuaj [[parta derivaĵo|partaj derivaĵoj]] je ĉiu el la argumentoj estas nulaj. Funkcio de vektora argumento tiam devas esti konsiderata kiel funkcio de multaj nombraj argumentoj, kiuj estas komponantoj de la vektoro.
 
Kontrolo ĉu kritikakrita punkto estas loka maksimumo aŭ loka minimumo eblas per [[matrico de Hessian]],
[[unua derivaĵa provo]], [[dua derivaĵa provo]] aŭ [[dua parta derivaĵa provo]].
 
* ''a'' estas punkto de loka maksimumo se ''n'' estas para kaj ''f<sup>(n)</sup>(a) > 0''
* ''a'' estas punkto de loka minimumo se ''n'' estas para kaj ''f<sup>(n)</sup>(a) < 0''
* ''a'' estas [[fleksiatrafleksa punkto]] se ''n'' estas nepara
 
KritikaKrita punkto kiu ne estas maksimumo aŭ minimumo povas esti [[fleksiatrafleksa punkto]] ĉe funkcio de unu variablo kaj [[sela punkto]] ĉe funkcio de du variabloj.
 
Kondiĉoj de mallokaj maksimumoj kaj minimumoj estas malsamaj inter funkcioj de unu kaj kelkaj variabloj. Se diferencialebla funkcio ''f'' difinita sur la reela linio havas solan kritikankritan punkton, kiu estas loka maksimumo aŭ minimumo, do ĝi estas ankaŭ malloka maksimumo aŭ minimumo, ĉi tio povas esti pruvita per [[intera valora teoremo]] kaj [[teoremo de Rolle]] per [[pruvo per disputo]]. En okazo de du kaj pli multaj variabloj, ĉi tiu argumento malsukcesas. Ekzemple funkcio
 
:<math>f(x, y)= x^2+y^2(1-x)^3,\qquad x, y\in\mathbb{R}</math>
 
havas la solan kritikankritan punkton estas je (0, 0), kiu estas loka minimumo kun ''f''(0, 0) = 0''. Tamen, ĝi ne estas malloka minimumo ĉar ''f(4, 1) = -11''.
 
== Optimumigo ==
*** minimumon je punkto ''x=0'' (ĝi estas malloka minimumo kaj la sola loka minimumo).
***: <math>\underset{x \in [-2, 2]}{\operatorname{min}} \, x^2 = 0</math>
* Funkcio ''x''<sup>3</sup> ne havas mallokan aŭ lokan minimumon aŭ maksimumon. Kvankam la unua derivaĵo (3''x''<sup>2</sup>) estas 0 je ''x=0'', ĉi tio estas [[fleksiatrafleksa punkto]].
* Funkcio ''x<sup>3</sup>/3 - x'' havas unuan derivaĵon ''x<sup>2</sup> - 1'' kaj duan derivaĵon ''2x''. La unua derivaĵo estas 0 je ''x'' egala al -1 kaj +1. De la signo de la dua derivaĵo sekvas ke -1 estas loka maksimumo kaj +1 estas loka minimumo. Tamen ĉi tiu funkcio ne havas mallokajn maksimumon aŭ minimumon.
* Funkcio ''|x|'' havas mallokan minimumon je ''x=0'' kiu ne povas troviĝi per derivaĵoj, ĉar la derivaĵo ne ekzisti je ''x=0''.
* [[Dua parta derivaĵa provo]]
* [[Matrico de Hessian]]
* [[KritikaKrita punkto (matematiko)]]
* [[Senmova punkto]]
* [[FleksiaTrafleksa punkto]]
* [[Sela punkto]]
* [[Punkto de malloka maksimumo]]
34 175

redaktoj