Ordonombro: Malsamoj inter versioj

Oni povas rigardi [[natura nombro|naturan nombron]] (inkluzive [[nulo]]n) laŭ du manieroj: kiel grando de [[aro]] aŭ kiel pozicio de aparta elemento en la aro. Por finiaj aroj tiuj du konceptoj kongruas, ĉar ekzistas nur unu maniero transformi aron al linia vico (krom izmorfismoj). Sed prizorgante nefiniajn arojn oni devas distingi inter ncionocio de grando (per kiu difiniĝas [[kardinalaj nombroj]] kaj nocio de pozicio, kiun ĝeneraligas ĉi-priskribata aro de ordonombroj. Tio okazas pro ke iu nefinia aro, havante nur unu "grandon" ([[povo de aro|povon]]), havas nefinie multe da neizomorfaj ordoj de si.

Kiam nocio de kardinala nombro asociiĝas kun senstruktura aro, la nocio de ordonombro estas ligita kun aparte [[plene ordigita aro|plene ordigitaj aroj]] - tiel proksime ligita, ke tiuj du nocioj ofte estas uzataj interŝanĝeble. Plene ordigitaj aroj estas [[tuteca ordo|tutece ordigitaj]] (t.e. por iuj du malsamaj elementoj unu estas pli granda ol alia) en kiu ne eblas nefinia ''malkreskanta'' vico (tamen, nefiniaj kreskantaj vicoj darfasĝenerale ekzistiekzistas). Krome, ĉiu ne malplena subaro de la aro havas almenaŭ unu elementon. Ordonombroj uzeblas por marki (numeri) elementojn de ĉiu plene ordigita aro (la plej magranda elemento markiĝas kiel 0, poste 1, poste 2 ktp) kaj "longo" de la aro difiniĝas kiel la plej malgranda ordonombro, kiu ne estas marko de iu elemento de la aro. Tiu "longo" nomiĝas ''tipo de ordo''.

Eble oni povas ekhavi plian intuician komprenon de ordonombroj post pripenso de kelkaj unuaj el ili. Kiel supre-menciite, la aro komencas je naturaj nombroj (inkluzive nulon): 0, 1, 2, 3, … Post ''ĉiuj'' naturaj nombroj sekvas la unua transfinia ordonombro ω, kiun sekvas ω+1, ω+2, ω+3, ktp. (Posteestas nipreciza difinosdifino plide precizeordonombra kionadicio, signifassed lanun adiciooni kuntekstepovas depensi ordonombroj;pri nun kosiderutiuj tionsimboloj simple kiel nomojnnomoj). Post ĉiuj tiuj sekvas ω·2 (aŭ ω+ω), ω·2+1, ω·2+2, ktp,. postePoste, sammaniere, ekzistas la nombroj ω·3, ω·4, … Nun konsideru ni la aron deLa ordonombroj, kiuj formiĝas ĉi-maniere - kiel ω·''m''+''n'', kie ''m'' kaj ''n'' estas naturaj nombroj. Estiel- apartenas al iu aro,. ĝiTiu aro devas mem enhavi asociitan ordonombron, kaj tiu markiĝas kiel ω². Plue sammaniere ni difinos nadifiniĝas ω³, poste na ω⁴, ktp, ĝis ω^ω, poste, post sekva iteracio, na ω^ω², ktp ĝis ε₀ (''[[epsilono nula]]''), la plej malgranda ordonombro kiu oni ne povas algebre esprimi kiel funkcio de ω. Tiuj ĉiuj ankoraŭ estas relative malgrandaj (nombreblaj) ordonombroj. Tiel ni povas daŭrigi nefinie. Ordonombroj estas aparte taŭgaj por nefinie grandaj numeradoj: preskaŭ ĉiam, kiam oni diras "kaj tiel plu" numerante ordonombrojn, oni per tio jam difinas pli grandan ordonombron. La plej malgranda nenombrebla ordonombro estas aro de ĉiuj nombreblaj ordonombroj, markita per ω₁.