Rimana ζ funkcio: Malsamoj inter versioj
| [nekontrolita versio] | [nekontrolita versio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Linio 33:
==La funkcio Zeto kiel Malfinia Produto==
[[Leonhard Euler|Ojler]] montris ke <math>\zeta(z)=\prod_{\text{prima } p}(1-\frac{1}{p^z})^{-1}=(1-\frac{1}{p^z})^{-1}(1-\frac{1}{3^z})^{-1}(1-\frac{1}{5^z})^{-1}\ldots(</math>. Ĉi tiu formulo veras por ĉiu <math>z</math> kies reela parto estas pli ol <math>1</math>.
Ojler deduktis tion sekvamaniere. Unue, rimarku ke
<math>\zeta(z)=\prod_{\text{prima } p}(1-\frac{1}{p^z})^{-1}</math>▼
<math>\implies\zeta(z)\frac{1}{2^z}=\frac{1}{2^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{6^z}\ldots</math>
Per subtraho, oni trovas
<math>\zeta(z)(1-\frac{2^z})=1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{5^z}\ldots</math>
En la dekstra flanko, estas nur la malparaj entjeroj. Pro tio,
<math>\zeta(z)(1-\frac{2^z})\frac{1}{3^z}=\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{15^z}+\ldots</math>
Alia subtraho vidigas ke
<math>\zeta(z)(1-\frac{2^z})(1-\frac{1}{3^z})=1+\frac{1}{5^z}+\frac{1}{7^z}+\ldots</math>
Ĉiu nombro dividebla per <math>3</math> estante subtrahita, en la supra esprimo estas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per <math>3</math>. Simile,
<math>\zeta(z)(1-\frac{2^z})(1-\frac{1}{3^z})(1-\frac{1}{5^z})=1+\frac{1}{7^z}+\frac{1}{11^z}+\ldots</math>
kie, en la dekstra flanko, aperas la entjeraj nombroj kiujn oni ne povas dividi per <math>2,3</math> aŭ <math>5</math> (kaj nur tiuj).
Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto <math>\zeta(z)\prod_{\text{prima }p} (1-\frac{1}{p^z}), kaj la dekstra nombra konverĝas al <math>1</math>. Oni tuj la proponata egaleco.
Rimarko: la serio kiu definas <math>\zeta</math> konverĝas absolute se la reela parto de <math>z</math> estas pli ol <math>1</math>. Tio permesas monstri que la dekstra limito estas <math>1</math>.
{{ĝermo}}
| |||