Kvankam unuavide ĝi aspektas kiel evidenta, ĝi ne veras en pli ĝeneralaj nombrosistemoj, inkluzivante multajn ringojn de algebraj entjeroj. Ĉi tiu estis unua notita de Ernst Kummer en 1843, en lia laboro pri la [[lasta teoremo de Fermat]]. La ekkono de ĉi tiu malsukceso estas unu el la plej fruaj rezultoj en [[algebra nombroteorio]].
La pruvo konsistas el du partoj: unue, oni devas montri ke ĉiu nombro povas esti skribataskrabata kiel produto de primoj; due oni devas montri ke ĉiuj du ĉi tiaj prezentoj estas esence la samaj.
Supozu ke ekzistas pozitiva entjero kiu ne povas esti skribitaskribata kiel produto de primoj. Tiam [[bona ordo|tie devas esti la plej malgranda ĉi tia nombro]]; estu ĝi ''n''. Ĉi tiu nombro ''n'' ne povas esti 1, pro la konvencio pli supre. Ĝi ne povas esti primo, pro tio ke ĉiu primo estas produto de sola primo, ĝi mem. Tiel ĝi devas esti komponigita nombro. Tial
: ''n = ab''
povas esti skribita kiel produto de primoj same bone, kio estas kontraŭdiro. Ĉi tio estas [[minimuma kontraŭekzemplo|minimuma kontraŭekzempla]] argumento.
La unikeca partounikecoparto de la pruvo (ĉarniroj, ĉarniras, artikoj, artikas)baziĝas sur jena fakto: se primo ''p'' dividas produton ''ab'', tiam ĝi dividas ''a'' aŭ ĝi dividas ''b'' (la [[eŭklida lemo]]). La pruvo de ĝi estas jena. Se ''p'' ne dividas ''a'', tiam ''p'' kaj ''a'' estas [[interprimo]]j kaj [[idento de Bézout]] donas entjerojn ''x'' kaj ''y'' tiajn ke
: ''px + ay = 1''
kaj pro tio ke ambaŭ termoj maldekstre estas divideblaj per ''p'', la dekstra flanko estas ankaŭ dividebla per ''p'', kio estas la pruvata afero.
Nun prenu du produtojn de primoj kiuj estas egalaegalaj. Prenu ĉiun primon ''p'' de la unua produto. Ĝi dividas la unuan produton, kaj de ĉi tie ankaŭ la duan. Per la pli supra lemo, ''p'' devas tiam dividi almenaŭ unu faktoron en la dua produto. Sed la faktoroj estas mem ĉiuj primoj sin, tiel ''p'' devas reale esti egala al unu el la faktoroj de la dua produto. Tiel ni povas forigi ''p'' de ambaŭ produtoj, kaj ilia egaleco inter si daŭre restas. Daŭrante per ĉi tiu maniero, oni povas vidi ke la primaj faktoroj de la du produtoj devas kongrui precize.
== Vidu ankaŭ ==
|