|
En [[matematiko]], '''divizoro''' de [[entjero]] ''n'', ankaŭ nomata '''faktoro''' de ''n'', estas entjero kiu dividas entjeron ''n'' sen laso de [[resto]].
Ekzemple, 7 estas faktoro de 42 ĉar 42/7 = 6. Oni ankaŭ diras ke "''42 estas '''dividebla''' per 7''" aŭ "''7 '''dividas''' naje 42''". Kutima skribado estas 7 | 42. Ĉiuj pozitivaj divizoroj de 42 estas 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
Ĝenerale, veras ''m''|''n'' por entjeroj ''m'' kaj ''n'' se kaj nur se ekzistas entjero ''k'' tia ke ''n'' = ''km''. Tial, faktoroj povas esti [[Negativa nombro|negativa]] kaj pozitiva. 1 kaj −1 estas faktoroj de ĉiu entjero, ĉiu entjero estas faktoro de si, kaj ĉiu entjero estas faktoro de 0, 0 estas faktoro nur de 0 (vidi ankaŭ artikolon [[divido per nul]]). Entjeroj divideblaj per 2 estas nomataj kiel paraj kaj ĉiuj aliaj entjeroj estas nomataj kiel neparaj.
Faktoro de ''n'' kio estas ne 1, −1, ''n'' aŭ −''n'' estas '''ne-bagatela divizoro'''. Entjero kun ne-bagatelaj divizoroj estas malprimo. [[Primo]] ne havas ne-bagatelajn divizoro.
<!--
La nomo venas de la [[Aritmetiko|aritmetika]] operacio de [[Divido (matematiko)|divido]]: se ''A''/''b'' = ''c'' tiam ''A'' estas la ''[[Dividendo|(dividendo, dividato)]]'', ''b'' la ''dividanto'', kaj ''c'' la ''[[rilato]]''.
Estas iuj [[Dividebla regulo|reguloj]] kiu permesi al agnoski minusklaj divizoroj de nombro de la (nombra, numera) decimaloj.
== Plui (komprenaĵoj, nocioj, nocias) kaj (faktoj, faktas) ==
Iuj rudimentaj reguloj:
* Se ''A'' | ''b'' kaj ''A'' | ''c'', tiam ''A'' | (''b'' + ''c''), fakte, ''A'' | (''_mb_'' + ''nc'') por ĉiuj (entjeroj, entjeras) ''m'', ''n''.
* Se ''A'' | ''b'' kaj ''b'' | ''c'', tiam ''A'' | ''c''. ([[transitiva rilato]])
* Se ''A'' | ''b'' kaj ''b'' | ''A'', tiam ''A'' = ''b'' aŭ ''A'' = −''b''.
Jena propraĵo estas grava:
* Se ''A'' | ''_bc_'', kaj [[Plej granda komuna divizoro|_gcd_]](''A'',''b'') = 1, tiam ''A'' | ''c''. ([[Eŭklida lemo]])
Pozitiva dividanto de ''n'' kiu estas malsama de ''n'' estas (nomita, vokis) ''propra divizoro'' (aŭ ''alikvoto'') de ''n''. (A nombro kiu ne (ebene, pare) dividi ''n'', sed lasas resto, estas (nomita, vokis) ''_aliquant_ parto'' de ''n''.)
Entjero ''n'' > 1 kies nur propra divizoro estas 1 estas (nomita, vokis) [[primo]].
(Ĉiu, Iu) pozitiva dividanto de ''n'' estas (produkto, produto) de [[Prima faktoro|primaj divizoroj]] de ''n'' altigita al iu povo. Ĉi tiu estas konsekvenco de la [[Fundamenta teoremo de aritmetiko]].
Se nombro egalas la (sumo, sumi) de ĝiaj propraj divizoroj, ĝi estas dirita al esti [[perfekta nombro]]. Nombroj malpli ol (tiu, ke) (sumo, sumi) estas dirita al esti ''manki'', dum nombroj pli granda ol (tiu, ke) (sumo, sumi) estas dirita al esti ''abunda''.
La tuteca nombro de pozitivaj divizoroj de ''n'' estas [[multiplika funkcio]] ''d''(''n'') (e.g. ''d''(42) = 8 = 2×2×2 = ''d''(2)×''d''(3)×''d''(7)). La (sumo, sumi) de la pozitivaj divizoroj de ''n'' estas alia multiplika funkcio σ(''n'') (e.g. σ(42) = 96 = 3×4×8 = σ(2)×&σ;(3)×&σ;(7)).
Se la prima faktorigo de ''n'' estas donita per
:<math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_n^{\nu_n} </math>
tiam la nombro de pozitivaj divizoroj de ''n'' estas
:<math> d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_n + 1), </math>
kaj ĉiu de la divizoroj havas la formo
:<math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_n^{\mu_n} </math>
kie
:<math> \forall i : 0 \le \mu_i \le \nu_i. </math>
== Divideblo de nombroj ==
La rilato | de divideblo (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) la aro '''N''' de [[Negativa kaj nenegativaj nombroj|nenegativa]] (entjeroj, entjeras) enen [[parte orda aro]], fakte enen plenumi distribueca krado. La plej granda ero de ĉi tiu krado estas 0 kaj la plej minuskla unu estas 1. La verigi operacio ^ estas donita per la [[plej granda komuna divizoro]] kaj la (aniĝi, aligi, aliĝi) operacio v per la [[plej malgranda komuna oblo]]. Ĉi tiu krado estas izomorfia al la duala de la krado de [[Subgrupo|subgrupoj]] de la malfinia [[cikla grupo]] [[Entjero|'''Z''']].
Se entjero ''n'' estas skribita en [[Numeralo|bazo ''b'']], kaj ''d'' estas entjero kun ''b'' ≡ 1 ([[Modula aritmetiko|_mod_]] ''d''), tiam ''n'' estas dividebla per ''d'' se kaj nur se la (sumo, sumi) de ĝia (ciferoj, ciferas) estas dividebla per ''d''. La reguloj por ''d''=3 kaj ''d''=9 donita pli supre estas specialaj okazoj de ĉi tiu rezulto (''b''=10).
Ni povas ĝeneraligi ĉi tiu maniero (ebena, para) plui al trovi kiel al kontroli divideblo de (ĉiu, iu) entjero en (ĉiu, iu) bazo per (ĉiu, iu) alia (pli minuskla entjero). Estu ni diri (tiu, ke) ni bezono al difini se ''d'' | ''A'' en [[Numeralo|bazo ''b'']]. Tiam ni unua trovi paro de (entjeroj, entjeras) (''n'', ''k'') (tiu, ke) solvas la kongrueco ''b''<sup>''n''</sup> ≡ ''k'' ([[Modula aritmetiko|_mod_]] ''d''). Nun iom ol sumanta la (ciferoj, ciferas), ni preni ''A'' (kiu havas ''m'' (ciferoj, ciferas)) kaj multipliki la unua ''m''-''n'' (ciferoj, ciferas) per ''k'' kaj adicii la (produkto, produto) al la lasta (aŭ pli detale, plej minuskla) ''k'' (ciferoj, ciferas) kaj ripeti se necesa. Se la rezulto estas multaj de ''d'' tiam la originala nombro estas dividebla per ''d''.
Kelkaj (ekzemploj, ekzemplas) estos helpi demonstracii ĉi tiu. Ekde 10<sup>3</sup> ≡ 1 (_mod_ 37) tiam la nombro 1523836638 donas 1+523+836+638 = 1998 kiu donas 1×1 + 998 = 999. Ni scii (tiu, ke) 999 estas dividebla per 37 pro la pli supre kongrueco. Denove, 10<sup>2</sup> ≡ 2 (_mod_ 7) do 43106 donas 431×2 + 06 = 868 kiu donas 8×2+68 = 84 kiu estas facile (tononomita, notita) kiel estante multaj de 7.
(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke) estas ne unika triopo (''n'', ''k'', ''d'') ekde ekzemple 10 ≡ 3 (_mod_ 7) do ni povita ankaŭ havi farita 4310×3 + 6 = 12936 kaj 1293×3 + 6 = 3885 kaj 388×3 + 5 = 1169 kaj 116×3 + 9 = 357 kaj 35×3 + 7 = 112 kaj 11×3 + 2 = 35 kaj 3×3 + 5 = 14 kaj 1×3 + 4 = 7. Klare ĉi tiu estas ne ĉiam kompetenta sed (tononomo, noto, noti) (tiu, ke) ĉiu nombro en ĉi tiu serio, 43106, 12936, 3885, 1169, 357, 112, 35, 14, 7 estas multaj de 7 kaj multa serio povis enhavi bagatele _identifiable_ (obloj, oblas). Ĉi tiu maniero estas ne bezone utila por iuj nombroj (ekzemple 10<sup>4</sup> ≡ 4 (_mod_ 17) estas la unua ''n'' kie ''k'' < 10) sed (pruntas, alpruntas) sin al rapidaj kalkuloj en alia (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) kie ''n'' kaj ''k'' estas relative minuskla.
== Ĝeneraligo ==
Unu povas (konversacii, konversacio, prelego) pri la koncepto de divideblo en (ĉiu, iu) [[integrala domajno]]. Bonvolu vidi (tiu, ke) artikolo por la (difinoj, difinas) en (tiu, ke) opcio.
-->
== Vidu ankaŭ jenon: ==
* [[Baremo de primaj faktoroj]] (por entjeroj 1 ... 1000)
* [[Baremo de faktoroj]] (por entjeroj 1 ... 1000)
<!--* Eŭlera _totient_ funkcio-->
* [[Testo de dividebleco]]
* [[Faktorigo]]
| 