Vikipedio

Kurba integralo: Malsamoj inter versioj

Browse history interactively
[kontrolita revizio][nekontrolita versio]
← Iru al antaŭa ŝanĝoIru al sekvanta ŝanĝo →
Enhavo forigita Enhavo aldonita
VidaVikiteksto
Neniu resumo de redakto
Neniu resumo de redakto
Linio 1:
En [[matematiko]], '''kurba integralo''' estas [[integralo]] kie la [[funkcio (matematiko)|funkcio]] integralota estas komputita laŭ [[kurbo]] en ia spaco. Kurbaj integraloj estas uzataj en [[vektora kalkulo]] kaj [[kompleksa analitiko]]. En vektora kalkulo oni konsideras integralojn de [[skalaro|skalara]] aŭ [[vektoro|vektora]] kampoj sur multdimensia spaco; En kompleksa analitiko oni konsideras integralojn de [[holomorfa funkcio|holomorfaj funkcioj]] sur [[kompleksa nombro|kompleksa ebeno]].
 
Por kurba integralo oni uzas la normalan integralan simbolon <math>\int</math>;. kelkfojeKelkfoje, por integralo surlaŭ fermitaj kurboj (t.e., kurboj kies komenca kaj fina punktoj koincidas), oni uzas la specialan simbolon <math>\oint</math>.
 
== Kurba integralo en vektora kalkulo ==
Supozu ke:
* <math>fC\colonsubset\mathbb R^n\to\mathbb R</math> estas [[skalaraorientita kurbo korektebla (angle ''rectifiable''; t.e., kurbo kun finia, difinebla kampo]]longeco);
* <math>f\colon C\subsetto\mathbb R^n</math> estas orientitabarita, kurbo korekteblakontinua (angleescepte ''rectifiable'';sur t.e.,nulmezura kurboaro) kun[[skalara finia, difinebla longeco)kampo]].
Tiam oni konstruas [[sumointegralo de Riemann|sumon de Riemann]] jene. Parametrigu <math>\gammaC</math> kiel <math>\vec\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R</math>, kaj dividu <math>[a,b]</math> en <math>n</math> pecojn <math>[t_i,t_{i+1}]</math> kun <math>\Delta t=t_{i+1}-t_i=(a-b-a)/n</math>.
Tiam oni difinas la '''kurbankurba integralonintegralo''' de skalara kampo <math>f</math> sur kurbo <math>C</math> difiniĝas kiel
:<math>\int_Cf=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}f(\gamma(t_i))|\vec\gamma(t_i)-\vec\gamma(t_{i+1})|</math>.
se tiu ĉi esprimo ekzistas (ekz., se <math>f</math> estas [[kontinua funkcio|kontinua]]). Oni povas pruvi ke la sumo de Riemann ekzistas kaj ne dependas je elekto de parametrigo. Se la kurbo <math>C</math> estas pece glata, la difino simplifassimpliĝas al jena formulo:
:<math>\int_\gamma f\;\operatorname ds = \int_a^b f(\vec\gamma(t))|\gamma'(t)|\;\operatorname dt</math>.
 
Anstataŭ skalaraj kampoj oni povas difini integralojn de [[vektora kampo|vektoraj kampoj]] simile.
Supozu ke:
* <math>C\vec F\colon\mathbb R^n\tosubset\mathbb R^n</math> estas [[vektoraorientita kurbo kampo]]korektebla;
* <math>\vec\gamma F\colon[a,b] C\to\mathbb R^n</math> estas orientita[[vektora kurbo korekteblakampo]].
Tiam oni simile elektasElektu parametrigon <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n</math> kaj dividigodividu <math>[a,b]</math> en <math>n</math> subintervalojn <math>[t_i,t_{i+1}]</math>, kaj difinas. laLa '''kurbankurba integralonintegralo''' de vektora kampo <math>\mathbfvec F</math> surlaŭ kurbo <math>\mathbf rC</math> difiniĝas jene:
:<math>\int_C\mathbfvec F(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\vec F(\gamma(t_i))\cdot\left(\vec\gamma(t_{i+1})-\vec\gamma(t_i)\right)</math>.
Simile, se la kurbo <math>C</math> estas pece glata:
:<math>\int_C \mathbfvec F(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x = \int_a^b \vec F(\vec\gamma(t))\cdot\vec\gamma'(t)\;\operatorname dt</math>.
 
Se vektora kampo <math>\vec F</math> estas la [[gradiento]] de ioiu skalara kampo <math>f</math>, tio estas,
:<math>\vec F=\nabla f</math>,
oni povas pruvi ke
:<math>\int_C \vec F(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x=f(\vec\gamma(b))-f(\vec\gamma(a))</math>.
Mirinde, por gradientoj de skalaraj kampoj, la kurba integralo ne dependas je la preciza kurbo uzata sed nure je la finpunktoj <math>\gamma(a)</math> kaj <math>\gamma(b)</math> (kaj la orientado) de la kurbo.
 
== Kompleksa analitiko ==
Supozu ke
* <math>C\subset\mathbb UC</math> estas orientita kurbo korektebla (angle ''rectifiable''; t.e., kurbo kun finia, difinebla longeco);▼
* <math>U</math> estas malfermita subaro de [[Kompleksa nombro|<math>\mathbb C</math>]];
* <math>f\colon UC\to\mathbb C</math> estas kompleksvalora funkcio.▼
▲* <math>C\subset U</math> estas orientita kurbo korektebla (angle ''rectifiable''; t.e., kurbo kun finia, difinebla longeco);
Parametrigu <math>C</math> kiel <math>\gamma\colon[a,b]\to U</math>, kaj dividu <math>[a,b]</math> en <math>n</math> pecojn <math>[t_i,t_{i+1}]</math>. Oni difinas laLa '''kurbankurba integralonintegralo''' de <math>f</math> surlaŭ <math>C</math> difiniĝas kiel la sumo de Riemann▼
▲* <math>f\colon U\to\mathbb C</math> estas funkcio.
▲Parametrigu <math>C</math> kiel <math>\gamma\colon[a,b]\to U</math>, kaj dividu <math>[a,b]</math> en <math>n</math> pecojn <math>[t_i,t_{i+1}]</math>. Oni difinas la '''kurban integralon''' de <math>f</math> sur <math>C</math> kiel la sumo de Riemann
:<math>\int_Cf(z)\;\operatorname dz=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}f(\gamma(t_i))\left(\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)\right)</math>.
:<math>\sum_{1 \le k \le n} f(\gamma(t_k)) ( \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ).</math>
Se <math>C</math> estas peca glata, la difino simplifigas al:
:<math>\int_C f(z)\;\operatorname dz=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt.</math>.
 
Ekzemple, konsideru la funkcio ''<math>f''(''z'')=1/''z'', kaj lasu,</math>. keDifinu la konturokurbo ''<math>C''</math> estukiel lamaldekstrume unuoblaorientita cirklo priĉirkaŭ <math>0,</math>. kiuNi povas estiparametrigi parametrigita<math>C</math> perkiel ''e''<supmath>mi''\gamma(t'')=\exp(it)</supmath>, kun ''<math>t'' en \in[0, 2π2\pi]</math>. Anstataŭigante, niNi trovas:
:<math>\oint_C f(z)\,dz = ;\int_0^{2\pi}operatorname {1\over e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,dtdz</math>
::<math>=i\int_0^{2\pi}\,dt =frac1{\exp it}i\exp(2it)\pi-0)=2;\pioperatorname idt</math>
::<math>=i\int_0^{2\pi}\exp(-it)\exp(it)\;\operatorname dt</math>
kiu povas esti ankaŭ kontrolita per la Koŝia integrala formulo.▼
::<math>=i\int_0^{2\pi}\;\operatorname dt=2\pi i</math>.
▲kiuTiu ĉi povas esti ankaŭ kontrolita per la Koŝiateoremo de rekremento integrala(vidu formulosube).
 
=== Teoremo de rekremento ===
Linio 51:
* <math>a_1,\dots, a_n\in U</math>;
* <math>f\colon(U\setminus a_1,\dots,a_n)\to\mathbb C</math> estas [[holomorfa funkcio]] (t.e. meromorfa sur <math>U</math> kun polusoj <math>a_k</math>);
* <math>\gammaC\subset U\setminus a_1,\dots,a_n</math> estas orientita fermita [[kurbo]] rektifeblakorektebla (t.e. kun finia longeco.).
Tiam:
:<math>\oint_\gammaoint_C f(z)\,;\operatorname dz =
2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gammaC, a_k)
\operatorname{Res}(f,a_k)</math>
kie
* <math>\operatorname{I}(\gammaC,a_i)</math> signifas la serpentumantan nombron'''vindnombron''' (angle: ''winding number''), t.e., <math>\operatorname{I}(\gammaC,a_i)=0</math> se <math>\gammaC</math> ne serpentumas ĉirkaŭ <math>a_i</math>; <math>\operatorname{I}(\gammaC,a_i)=n</math> se <math>\gammaC</math> serpentumas ĉirkaŭ <math>a_i</math> <math>n</math>-foje maldekstrume (t.e. mallaŭhorloĝnadle); <math>\operatorname{I}(\gammaC,a_i)=-n</math> se <math>\gammaC</math> serpentumas <math>n</math>-foje dekstrume (t.e. laŭhorloĝnadle);
* <math>\operatorname{Res}(f,a_i)</math> signifas la '''rekrementon''' (angle: ''residue'') de <math>f</math> apud <math>a_k</math>, t.e., la valoron <math>r\in\mathbb C</math> tian ke <math>f(z)-r/(z-a_i)</math> havas holomorfa [[malderivaĵo]] apud <math>a_i</math>.
 
Speciale, se mankas la polusoj de <math>f</math>, tiam <math>\oint f=0</math>. Tio ĉi estas la '''[[koŝia integrala teoremo]]'''.
Linio 64:
Pro la teoremo de rekremento, oni povas ofte uzi konturajn integralojn en la kompleksa ebeno por trovi integralojn de reelvaloraj funkcioj de reela variablo.
 
Ekzemple, ree konsideru la antaŭan ekzemplon, <math>\int_C1/z\;\operatorname dz</math>, kie <math>C</math> estas cirklo ĉirkaŭ <math>0</math>. Ekzistas unu poluso de <math>1/z</math>, t.e., ĉe <math>0</math>. La rekremento <math>\operatorname{Res}(1/z,0)=1</math>, ĉar <math>1/z-1/(z-0)=0</math> havas holomorfan malderivaĵon <math>0</math>. La vindnombro estas <math>I(C,0)=1</math>. Tial
=== Interrilato kun vektora kurba integralo ===
:<math>\int_C1/z\;\operatorname dz=2\pi i</math>.
Vidantaj kompleksaj nombroj kiel 2D-vektoroj, la voja integralo en 2D de vektora kampo korespondas al la reela parto de la voja integralo de la [[kompleksa konjugito]] de la respektiva kompleksa funkcio de kompleksa variablo.
 
=== Rilato inter vektora kaj kompleksa kurbaj integraloj ===
Pro al la [[koŝio-rimanaj ekvacioj]] la [[kirlo]] de la vektora kampo respektiva al la konjugito de [[holomorfa funkcio]] estas nulo. Tio rilatas per Hejtas teoremo — ambaŭ tipoj de voja integralo estas nulo.
Oni povas identigi <math>\mathbb R^2</math> kun <math>\mathbb C</math>.
Konsideru orientitan korekteblan kurbon <math>C\sub\mathbb R^2\cong\mathbb C</math> kaj funkcion <math>f\colon C\to\mathbb R^2\cong\mathbb C</math>. Tiam:
:<math>\int_C\vec f(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x=\Re\int_C\bar f(z)\operatorname dz</math>
kaj
:<math>\int_Cf(z)\operatorname dz=\int_C\vec{\bar f}(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x+i\int_C\overrightarrow{i\bar f}(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x</math>
kie <math>\vec{\bar f}</math> estas <math>\bar f</math> vidita kiel vektora funkcio kaj <math>\overrightarrow{i\bar f}</math> estas <math>i\bar f</math> vidita kiel vektora funkcio.
 
== Uzado en fiziko ==
Linio 77 ⟶ 83:
 
* [[Integralo]]
* [[Manieroj de kontura integralado]]
* [[Teoremo de Nachbin]]
* [[Surfaca integralo]]
* [[Volumena integralo]]
* [[Obla integralo]]
* [[Teoremo de Stokes]]
* [[Funkcionala integralado]]
 
== Eksteraj ligoj ==
 
{{el}} [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Complex_Variables#Complex_Integrals Solvis problemojn pri vojajkurbaj integraloj]
 
[[Kategorio:Kompleksa analitiko]]
Elŝutita el "https://eo.wikipedia.org/wiki/Kurba_integralo"