En [[matematiko]], ''' duktosternaĵo''' estas spaco kiu, en unua plana vido, similas la familiaran spacon de [[eŭklida geometrio]], sed kiu povas havi pli komplikan strukturon kiam vidita entute. [[Sfero]], idealigita versio de la surfaco de la Tero, estas duktosternaĵo. Loke la Tero aspektas kvazaŭ ĝi estas plata, sed vidita entute ĝi estas ronda. Duktosternaĵo povas esti konstruita per gluado de apartaj [[eŭklida spaco|eŭklidaj spacoj]] kune; ekzemple, monda mapo povas esti farita per gluado de multaj mapoj de lokaj regionoj kune. ▼''Por alia signifoj de ĉi tiu vorto, vidu apartigilon [[dukto]].''
----
▲En [[matematiko]], '''dukto''' estas spaco kiu, en unua plana vido, similas la familiaran spacon de [[eŭklida geometrio]], sed kiu povas havi pli komplikan strukturon kiam vidita entute. [[Sfero]], idealigita versio de la surfaco de la Tero, estas dukto. Loke la Tero aspektas kvazaŭ ĝi estas plata, sed vidita entute ĝi estas ronda. Dukto povas esti konstruita per gluado de apartaj [[eŭklida spaco|eŭklidaj spacoj]] kune; ekzemple, monda mapo povas esti farita per gluado de multaj mapoj de lokaj regionoj kune.
Alia ekzemplo de duktosternaĵo estas cirklo. Malgranda peco de [[cirklo]] aspektas kiel (malmulte-kurba) porcio de rekta segmento, sed entute la cirklo kaj la segmento estas malsamaj unu-dimensia duktojsternaĵoj. Cirklo povas esti formita per flekso de rekta segmento kaj gluigo de ĝiaj randoj kune. La surfaco de sfero kaj la surfaco de [[toro]] estas ekzemploj de du-dimensia duktojsternaĵoj. Duktojsternaĵoj estas gravaj objektoj, en matematiko kaj [[fiziko]] ĉar ili permesas al pli komplikaj strukturoj esti esprimitaj kaj komprenitaj en terminoj de la bone komprenataj propraĵoj de pli simplaj spacoj.
Aldonaj strukturoj estas ofte difinitaj sur duktojsternaĵoj. Ekzemploj de duktojsternaĵoj kun aldona strukturo estas diferencialeblaj duktojsternaĵoj sur kiuj oni povas uzi [[kalkulo]]n kaj kvar-dimensia pseŭdo-Rimana duktosternaĵo kiu modelas spacon kaj tempon en [[fizika relativeco]].
<!--
Teknika matematika difino de duktosternaĵo estas donita pli sube. Al plene kompreni la matematikon malantaŭ duktojsternaĵoj, necesos scii rudimentan koncepton de estimantaj aroj kaj funkcioj, kaj ĝi povas ankaŭ helpi havi bazan scion de [[kalkulo]] kaj [[topologio]].
== Motiviga ekzemplo: la cirklo ==
La [[cirklo]] estas la plej simpla ekzemplo de topologia duktosternaĵo post Eŭklida spaca mem. Konsideru, ekzemple, la cirklon de radiuso 1 kun ĝia centro je la fonto. Se ''x'' kaj ''y'' estas la koordinatoj de punkto sur la cirklo, tiam ''x''² + ''y''² = 1.
Loke, la cirklo similas linion, kiu estas unu-dimensia. Alivorte nur unu koordinato estas bezonata por priskribi la cirklon loke. Konsideru, ekzemple, la supran parton de la cirklo, por kiu la ''y''-koordinato estas pozitiva (la flava parto en ''(Cifero, Figuro) 1''). Ĉiu punkto en ĉi tiu parto povas esti priskribita per la ''x''-koordinato. Do, estas [[Kontinua funkcio (topologio)|kontinua]] bijekcio χ<sub>supro</sub>, kiu mapigas la flavan parton de la cirklo al la malfermita intervalo (−1, 1) per simpla projekciado sur la unua koordinato:
Tia funkcio estas nomita ''traira mapo''.
La supro, fundo, (maldekstre, restis), kaj (ĝusta, dekstra, rajto) (abakoj, abakas) demonstracii (tiu, ke) la cirklo estas duktosternaĵo, sed ne formo la nur ebla (maparo, atlaso, atlanto). (Abakoj, Abakas) (bezoni, bezono, necesa) ne esti geometriaj projekcioj, kaj la nombro de (abakoj, abakas) estas (materio, afero) de iu elekto. Konsideri la (abakoj, abakas)
: <math>\chi_{\mathrm{minus}}(x,y) = s = {y\over{1+x}}</math>
kaj
ĝi povas facile esti (konfirmita, jesigita) (tiu, ke) ''x''²+''y''² = 1 por ĉiuj (valoroj, valoras) de la inklino ''s''. Ĉi tiuj du (abakoj, abakas) provizi (sekundo, dua) (maparo, atlaso, atlanto) por la cirklo, kun
: <math>t = {1\over s}.</math>
Ĉiu abako nefaras unulita punkto, ĉu (−1,0) por ''s'' aŭ (+1,0) por ''t'', do neniu abako sola estas sufiĉa al kovri la tuta cirklo. Ĝi povas esti montrita (tiu, ke) ne unulita abako povas iam kovri la plena cirklo; (ebena, para) simpla (ekzemploj, ekzemplas) postuli la _flexibility_ de (duktojsternaĵoj, duktas) kaj multaj (abakoj, abakas).
(Duktojsternaĵoj, Duktas) (bezoni, bezono, necesa) ne esti koneksa (ĉiuj en "unu peco"): paro de apartigi cirkloj estas ankaŭ topologia duktosternaĵo. (Duktojsternaĵoj, Duktas) (bezoni, bezono, necesa) ne fermiĝi: (segmento, streko) sen ĝia (randoj, randas, finoj, finas) estas duktosternaĵo. (Duktojsternaĵoj, Duktas) (bezoni, bezono, necesa) ne esti finia: [[parabolo]] estas topologia duktosternaĵo. Alia topologia duktosternaĵo (ekzemploj, ekzemplas) inkluzivi [[hiperbolo]] kaj la _locus_ de punktoj sur la [[kuba kurbo]] ''y''² - ''x''³ + ''x'' = 0, kiu estas neniu koneksa, nek (fermita, fermis), nek finia.
Tamen, (ekzemploj, ekzemplas) kiel du tuŝantaj cirkloj (tiu, ke) (komunigi, parto) punkto al formo (cifero, figuro)-8 estas ekskludita: kontentiga abako al unu-dimensia Eŭklida spaco ne povas esti konstruita ĉirkaŭ la komunigita punkto. (A malsama vido estas preztrompita [[algebra geometrio]], kie kompleksaj punktoj sur la _quartic_ kurbo ((''x'' − 1)² + ''y''² − 1)((''x'' + 1)² + ''y''² − 1) = 0, kies (reala, reela) punkta sola forma paro de cirkloj tuŝanta je la fonto, estas (konsiderita, konsideris).)
Vidita uzanta [[kalkulo]], la cirkla traira funkcio ''T'' estas simple funkcio inter (malfermi, malfermita) (intervaloj, intervalas), al doni signifo al la (propozicio, frazo, ordono) (tiu, ke) ''T'' estas diferencialebla. Tio estas, ''T'', kaj la alia trairo (mapoj, mapas), estas diferencialebla sur (0, 1). Pro tio, kun ĉi tiu (maparo, atlaso, atlanto) la cirklo estas ''[[diferencialebla duktosternaĵo]]''. Fakte ĝi estas ankaŭ ''glata'' kaj ''analitiko''.
La cirklo ankaŭ eksponas propraĵoj kiu permesi ĝi al esti klasita kiel pli specialigita (klavas, tipoj) de duktosternaĵo. La cirklo havas nocio de distanco inter du punktoj: la arko-longo inter la punktoj. De ĉi tie ĝi estas ''Rimana duktosternaĵo''.
== Historio ==
La studi de (duktojsternaĵoj, duktas) (kombinas, komponas) multaj gravaj areoj de matematiko: ĝi ĝeneraligas (konceptoj, konceptas) ŝati kurboj kaj (surfacoj, surfacas) kaj (komprenaĵoj, nocioj, nocias) de [[lineara algebro]], kaj _incorporates_ (ideoj, ideas) de [[topologio]]. Certaj specialaj klasoj de (duktojsternaĵoj, duktas) ankaŭ havi aldona algebra strukturo; ili (majo, povas) konduti ŝati (grupoj, grupas), ekzemple.
===Prahistorio===
Antaŭ la moderna koncepto tie estis kelkaj gravaj rezultoj.
[[Carl Friedrich Gauss]] (majo, povas) havi estas la unua al konsideri abstrakta (spacoj, kosmoj, spacetoj) kiel matematika (objektoj, objektas) en ilia posedi (ĝusta, dekstra, rajto). Lia _theorema_ _egregium_ donas maniero por komputanta la [[kurbeco]] de [[surfaco]] sen konsideranta la _ambient_ spaco en kiu la surfaco (mensogoj, mensogas, kuŝas). Tia surfaco devus, en moderna terminologio, nomiĝi duktosternaĵo.
[[Neeŭklida geometrio]] konsideras (spacoj, kosmoj, spacetoj) kie [[Eŭklido|Eŭkli]]da [[paralela postulato]] (paraleloj neniam verigi) mankas. Ĉi tiuj estis unua studis en [[1733]] per _Saccheri_ kaj ellaborita cent (jaroj, jaras) poste per _Lobachevsky_, _Bolyai_, kaj Rimano. Ilia esplori malkovrita du aldona (klavas, tipoj) de (spacoj, kosmoj, spacetoj) kies geometria (strukturoj, strukturas) diferenci de (tiu, ke) de klasika [[Eŭklida spaco]]; ĉi tiuj donis pligrandiĝo al [[hiperbola geometrio]] kaj [[elipsa geometrio]]. En la moderna teorio de (duktojsternaĵoj, duktas), ĉi tiuj (komprenaĵoj, nocioj, nocias) esti konforma laŭ (duktojsternaĵoj, duktas) kun negativa kaj pozitiva [[kurbeco]], respektive.
La [[Eŭlera karakterizo]] estas ekzemplo de [[topologia bieno]] de duktosternaĵo. Por konveksa [[pluredro]] kun ''V'' verticoj (aŭ anguloj), ''E'' randoj kaj ''F'' (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras) Eŭlero montris (tiu, ke) ''V''-''E''+''F''=2. Ĉi tiu karakterizo povas esti ĝeneraligita al kovri glata (surfacoj, surfacas) kaj pli alta dimensia (spacoj, kosmoj, spacetoj) per uzanta _Betti_ nombroj. La studi de aliaj topologiaj bienoj (aŭ (invariantoj, invariantas)) de (duktojsternaĵoj, duktas) estas unu de la centralo (temoj, temas) de [[topologio]].
===Sintezo===
_Bernhard_ Rimano estis la unua al fari (mult)ampleksa laboro ĝeneraliganta la ideo de surfaco al pli altaj dimensioj. La nomo ''duktosternaĵo'' venas de Rimana originala [[Germana lingvo|Germana ]](termo, membro, flanko, termino), ''_Mannigfaltigkeit_'', kiu Vilhelmo _Kingdon_ _Clifford_ tradukita kiel "_manifoldness_". En lia Göttingen inaŭgura prelego, Rimano priskribis la aro de ĉiuj ebla (valoroj, valoras) de (variablo, varianta) kun certa (limigoj, limigas) kiel ''_Mannigfaltigkeit_''. Li _distinguishes_ inter ''_stetige_ _Mannigfaltigkeit_'' kaj ''diskreta'' ''_Mannigfaltigkeit_'' (''kontinua _manifoldness_'' kaj ''nekontinua _manifoldness_''), dependanta sur ĉu la valoro ŝanĝas kontinue ĉu ne. Kiel kontinua (ekzemploj, ekzemplas), Rimano (ligas, referas) al ne nur (koloroj, koloras, kolorigas) kaj la lokoj de (objektoj, objektas) en spaco, sed ankaŭ la ebla (formoj, formas) de spaca (cifero, figuro). Uzanta induktoinsternaĵo, Rimano konstruas ''n _fach_ _ausgedehnte_ _Mannigfaltigkeit_'' (''n (tempoj, tempas) etendita'' aŭ ''n-dimensia _manifoldness_'') kiel kontinua stako de (n−1) dimensia _manifoldness_. Rimana intuicia nocio de ''_Mannigfaltigkeit_'' evoluis enen kio estas hodiaŭ formaligis kiel duktosternaĵo. [[Rimana duktosternaĵo|Rimanaj duktojsternaĵoj]] kaj [[Rimana surfaco|Rimanaj surfacoj]] estas nomita post _Bernhard_ Rimano.
En la studi de komplekso (variabloj, variablas), la procezo de [[analitika vastigaĵo]] (plumboj, plumbas, kondukas) al la konstruado de (duktojsternaĵoj, duktas).
Abelaj variecoj estis jam implice sciata en Rimana tempo kiel [[Kompleksa duktosternaĵo|kompleksaj duktojsternaĵoj]]. Lagrange-a mekaniko kaj _Hamiltonian_ mekaniko, kiam (konsiderita, konsideris) geometrie, estas ankaŭ (naive, krude, nature) duktosternaĵo (teorioj, teorias). Ĉiuj ĉi tiuj uzi la nocio de kelka karakterizo (hakiloj, hakas) aŭ [[Dimensio|(dimensioj, dimensias)]], sed ĉi tiuj (dimensioj, dimensias) ne (mensogi, kuŝi) laŭ la fizika (dimensioj, dimensias) de larĝo, alto, kaj _breadth_.
[[Henri Poincaré]] studis tri-dimensia (duktojsternaĵoj, duktas) kaj altigita demando, hodiaŭ sciata kiel la _Poincaré_ konjekto. Kiel de 2006, _consensus_ inter (kompetentuloj, kompetentulas) estas (tiu, ke) ĵusa laboro per _Grigori_ _Perelman_ (majo, povas) havi respondita ĉi tiu demando, post proksime jarcento de peno per multaj (matematikistoj, matematikistas).
_Hermann_ _Weyl_ donis apriora difino por diferencialeblaj duktojsternaĵoj en 1912. La fundamenta (aspektoj, aspektas) de la subjekto estis klarigita dum la 1930-aj jaroj per _Hassler_ _Whitney_ kaj aliaj, farante preciza (intuicioj, intuicias) (datanta, rendevuanta, daktilarbanta, daktilujanta, daktanta) dorso al la lasta duono de la 19-a jarcento, kaj ellaborita tra diferenciala geometrio kaj (Mensogi, Kuŝi) grupa teorio.
== Matematika difino ==
En matematiko, '''duktosternaĵo''' estas [[topologia spaco]] en kiu ĉiu punkto havas najbareco [[homeomorfia]] al (malfermi, malfermita) Eŭklida n-pilko:
:<math>\mathbf{B}^n = \{ (x_1, x_2, ..., x_n) | x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 < 1 \}.</math>
Estas multaj malsamaj klasoj de (duktojsternaĵoj, duktas). La plej simpla estas [[Topologia duktosternaĵo|topologiaj duktojsternaĵoj]], kiu (aspekti, aspekto, rigardi) loke ŝati iu [[Eŭklida spaco]]. Aliaj klasoj de (duktojsternaĵoj, duktas) havi aldona strukturo. Unu de la plej grava estas la [[diferencialebla duktosternaĵo]], kiu havas strukturo (tiu, ke) (konsentas, permesas) la apliko de [[kalkulo]].
== (Abakoj, Abakas), (maparoj, atlasoj, atlantoj) kaj trairo (mapoj, mapas) ==
La sfera Tero estas navigaciita uzanta (plata, apartamento) (mapoj, mapas) aŭ (abakoj, abakas), kolektita en (maparo, atlaso, atlanto). Simile, diferencialebla duktosternaĵo povas esti priskribita uzanta matematika (mapoj, mapas), nomita ''koordinato (abakoj, abakas)'', kolektita en matematika ''(maparo, atlaso, atlanto)''. Ĝi estas ne ĝenerale ebla al priskribi duktosternaĵo kun nur unu abako, ĉar la malloka strukturo de la duktosternaĵo estas malsama de la simpla strukturo de la (abakoj, abakas). Ekzemple, ne unulita (plata, apartamento) mapo povas pozitive prezenti la tuta Tero. Kiam duktosternaĵo estas konstruita de multaj parte kovranta (abakoj, abakas), la (regionoj, regionas) kie ili parte kovri porti informo esenca al komprenanta la malloka strukturo.
'''(Abakoj, Abakas)'''
'''koordinata mapo''', '''koordinata abako''', aŭ simple '''abako''' de duktosternaĵo estas (neŭtrigebla, inversigebla) mapo inter subaro de la duktosternaĵo kaj simpla spaco tia (tiu, ke) ambaŭ la mapo kaj ĝia inverso konfiti la deziris strukturo. Por topologia duktosternaĵo, la simpla spaco estas iu [[Eŭklida spaco]] '''R'''<sup>''n''</sup> kaj (interezo, interesi) fokusita sur la topologia strukturo. Ĉi tiu strukturo estas konfitita per (homeomorfioj, homeomorfias, homeomorfiecoj, homeomorfiecas), (neŭtrigebla, inversigebla) (mapoj, mapas) (tiu, ke) estas kontinua en ambaŭ (direktoj, instrukcio).
Ĉe [[diferencialebla duktosternaĵo]], aro de '''(abakoj, abakas)''' nomita '''(maparo, atlaso, atlanto)''' permesas ni al fari kalkulo sur (duktojsternaĵoj, duktas). Polusaj koordinatoj, ekzemple, forma abako por la ebeno '''R'''<sup>2</sup> minus la negativa ''x''-akso kaj la fonto. Alia ekzemplo de abako estas la mapo χ<sub>supro</sub> menciis en la sekcio pli supre, abako por la cirklo.
'''(Maparoj, Atlasoj, Atlantoj)'''
La priskribo de plej (duktojsternaĵoj, duktas) postulas pli ol unu abako (unulita abako estas (sufiĉa, adekvata) por nur la plej simpla (duktojsternaĵoj, duktas)). Specifa kolekto de (abakoj, abakas) kiu kovras duktosternaĵo estas nomita '''(maparo, atlaso, atlanto)'''. (Maparo, Atlaso, Atlanto) estas ne unika kiel ĉiuj (duktojsternaĵoj, duktas) povas esti kovrita multaj (vojoj, vojas) uzanta malsama (kombinaĵoj, kombinaĵas) de (abakoj, abakas).
La (maparo, atlaso, atlanto) enhavanta ĉiuj ebla (abakoj, abakas) konsekvenca kun donita (maparo, atlaso, atlanto) estas nomita la '''maksimuma (maparo, atlaso, atlanto)'''. Malverŝajne ordinara (maparo, atlaso, atlanto), la maksimuma (maparo, atlaso, atlanto) de donita (maparo, atlaso, atlanto) estas unika. Kvankam ĝi estas utila por (difinoj, difinas), ĝi estas tre abstrakta objekto kaj ne uzis rekte (e.g. en kalkuloj).
'''Trairo (mapoj, mapas)'''
(Abakoj, Abakas) en (maparo, atlaso, atlanto) (majo, povas) parte kovri kaj unulita punkto de duktosternaĵo (majo, povas) esti (prezentita, prezentis) en kelkaj (abakoj, abakas). Se du (abakoj, abakas) parte kovri, (partoj, partas) de ilin prezenti la sama regiono de la duktosternaĵo, (justa, ĵus) kiel mapo de Eŭropo kaj mapo de Azio (majo, povas) ambaŭ enhavi Moskvo. Donita du parte kovranta (abakoj, abakas), '''traira funkcio''' povas esti difinita kiu iras de (malfermi, malfermita) pilko en '''R'''<sup>''n''</sup> al la duktosternaĵo kaj tiam dorso al alia (aŭ eble la sama) (malfermi, malfermita) pilko en '''R'''<sup>''n''</sup>. La rezulta mapo, ŝati la mapo ''T'' en la cirkla ekzemplo pli supre, estas nomita '''ŝanĝi de (koordinatoj, koordinatas)''', '''koordinata transformo''', '''traira funkcio''', aŭ '''traira mapo'''.
'''Aldona strukturo'''
(Maparo, Atlaso, Atlanto) povas ankaŭ kutimi difini aldona strukturo sur la duktosternaĵo. La strukturo estas unua difinis sur ĉiu abako aparte. Se ĉiu trairo (mapoj, mapas) estas kongrua kun ĉi tiu strukturo, la strukturo (ĝiras, tradonas, tradonoj) al la duktosternaĵo.
Ĉi tiu estas la normaj vojaj diferencialeblaj duktojsternaĵoj estas difinita. Se la trairaj funkcioj de (maparo, atlaso, atlanto) por topologia duktosternaĵo konfiti la natura diferenciala strukturo de '''R'''<sup>''n''</sup> (tio estas, se ili estas _diffeomorphisms_), la diferenciala strukturo (ĝiras, tradonas, tradonoj) al la duktosternaĵo kaj (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ĝi enen diferencialebla duktosternaĵo.
En ĝenerala la strukturo sur la duktosternaĵo dependas sur la (maparo, atlaso, atlanto), sed iam malsama (maparoj, atlasoj, atlantoj) elkovi la sama strukturo. Tia (maparoj, atlasoj, atlantoj) estas nomita '''kongrua'''.
== Konstruado ==
Unulita duktosternaĵo povas esti konstruita en malsama (vojoj, vojas), ĉiu streĉanta malsama aspekto de la duktosternaĵo, per tio kondukante al malmulte malsama starpunkto.
=== (Abakoj, Abakas) ===
Eble la plej simpla vojo al konstrui duktosternaĵo estas la unu uzita en la ekzemplo pli supre de la cirklo. Unua, subaro de '''R'''<sup>2</sup> estas (identigita, identigita), kaj tiam (maparo, atlaso, atlanto) (kovranta, kovro) ĉi tiu subaro estas konstruita. La koncepto de ''duktosternaĵo'' kreskita historie de konstruoj tiamaniere. Jen alia ekzemplo, aplikanta ĉi tiu maniero al la konstruado de sfero:
==== Sfero kun (abakoj, abakas) ====
=== _Patchwork_ ===
Duktosternaĵo povas esti konstruita per gluanta kune (pecoj, pecas) en konsekvenca maniero, farante ilin enen parte kovranta (abakoj, abakas). Ĉi tiu konstruado estas ebla por (ĉiu, iu) duktosternaĵo kaj de ĉi tie ĝi estas ofte uzita kiel karakterizado, aparte por diferencialebla kaj Rimanaj duktojsternaĵoj. Ĝiaj fokusoj sur (maparo, atlaso, atlanto), kiel la flikaĵoj (naive, krude, nature) provizi (abakoj, abakas), kaj ekde estas ne eksteraĵa spaca komplika ĝi (plumboj, plumbas, kondukas) al apriora vido de la duktosternaĵo.
La duktosternaĵo estas konstruita per preciziganta (maparo, atlaso, atlanto), kiu estas sin difinis per trairo (mapoj, mapas). Punkto de la duktosternaĵo estas pro tio (ekvivalento-klaso, ekvivalentklaso) de punktoj kiu estas mapita al unu la alian per trairo (mapoj, mapas). (Abakoj, Abakas) mapo (ekvivalento-klasoj, ekvivalentklasoj) al punktoj de unulita fliki. Estas kutime forta postulas sur la konsekvenco de la trairo (mapoj, mapas). Por topologiaj duktaj ili estas postulita al esti [[Homeomorfio|(homeomorfioj, homeomorfias, homeomorfiecoj, homeomorfiecas)]]; se ili estas ankaŭ _diffeomorphisms_, la rezultanta duktosternaĵo estas diferencialebla duktosternaĵo.
Ĉi tiu povas esti ilustrita kun la traira mapo ''t'' = <sup>1</sup>⁄<sub>''s''</sub> de la (sekundo, dua) duono de la cirkla ekzemplo. Starti kun du (kopioj, kopias) de la linio. Uzi la koordinato ''s'' por la unua (kopio, kopii), kaj ''t'' por la (sekundo, dua) (kopio, kopii). Nun, glui ambaŭ (kopioj, kopias) kune per identiganta la punkto ''t'' sur la (sekundo, dua) (kopio, kopii) kun la punkto <sup>1</sup>⁄<sub>''s''</sub> sur la unua (kopio, kopii) (la punkto ''t'' = 0 estas ne (identigita, identigita) kun (ĉiu, iu) punkto sur la unua (kopio, kopii)). Ĉi tiu donas cirklo.
==== Apriora kaj _extrinsic_ vido ====
La unua konstruado kaj ĉi tiu konstruado estas tre simila, sed ili prezenti iom malsamaj punktoj de vido. En la unua konstruado, la duktosternaĵo estas vidita kiel enigita en iu Eŭklida spaco. Ĉi tiu estas la ''_extrinsic_ vido''. Kiam duktosternaĵo estas vidita en tiamaniere, ĝi estas facila al uzi intuicio de Eŭklidaj spacoj al difini aldona strukturo. Ekzemple, en Eŭklida spaca ĝi estas ĉiam klara ĉu vektoro je iu punkto estas _tangential_ aŭ normala al iu surfaco tra (tiu, ke) punkto.
La _patchwork_ konstruado ne uzi (ĉiu, iu) enigo, sed simple vidoj la duktosternaĵo kiel topologia spaco per sin. Ĉi tiu abstrakta punkto de vido estas nomita la ''apriora vido''. Ĝi povas fari ĝi (pli peza, pli peza) al imagi kia tangenta vektoro povus esti.
==== ''n''-Sfero kiel _patchwork_ ====
La ''n''-sfero '''S'''<sup>''n''</sup> estas ĝeneraligo de la ideo de cirklo (1-sfero) kaj sfero (2-sfero) al pli altaj dimensioj. ''n''-sfero '''S'''<sup>''n''</sup> povas konstruita per gluanta kune du (kopioj, kopias) de '''R'''<sup>''n''</sup>. La traira mapo inter ilin estas difinita kiel
:<math>\mathbf{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbf{R}^n \setminus \{0\}: x \mapsto x/\|x\|^2.</math>
Ĉi tiu funkcio estas ĝia posedi inverso kaj tial povas esti uzita en ambaŭ (direktoj, instrukcio). Kiel la traira mapo estas [[glata funkcio]], ĉi tiu (maparo, atlaso, atlanto) difinas glata duktosternaĵo.
En la (kesto, okazo) ''n'' = 1, la ekzemplo (simpligas, plisimpligas) al la cirkla ekzemplo donita pli frua.
=== Identigantaj punktoj de duktosternaĵo ===
Ĝi estas ebla al difini malsamaj punktoj de duktosternaĵo al esti sama. Ĉi tiu povas esti bildigita kiel gluanta ĉi tiuj punktoj kune en unulita punkto, formante [[rilata spaco]]. Estas, tamen, ne kaŭzo al atendi tiaj rilataj spacoj al esti (duktojsternaĵoj, duktas). Inter la eblaj rilataj spacoj (tiu, ke) estas ne bezone (duktojsternaĵoj, duktas), _orbifolds_ kaj _CW_ kompleksoj estas (konsiderita, konsideris) al esti relative [[bone-kondutita]].
Unu maniero de identigantaj punktoj (gluantaj ilin kune) estas tra (ĝusta, dekstra, rajto) (aŭ (maldekstre, restis)) ago de grupo, kiu [[Grupa ago|(agoj, agas, operacias, aktoj, aktas) ]]sur la duktosternaĵo. Du punktoj estas (identigita, identigita) se unu estas movita sur la alia per iu grupa ero. Se ''M'' estas la duktosternaĵo kaj ''G'' estas la grupo, la rezultanta rilata spaco estas signifita per ''M'' / ''G'' (aŭ ''G'' \ ''M'').
(Duktojsternaĵoj, Duktas) kiu povas esti konstruita per identigantaj punktoj inkluzivi _tori_ kaj [[Reala projekcia spaco|realaj projekciaj spacoj]] (startanta kun ebeno kaj sfero, respektive).
=== Karteziaj produtoj ===
La [[Kartezia produto]] de (duktojsternaĵoj, duktas) estas ankaŭ duktosternaĵo. Ne ĉiu duktosternaĵo povas esti skribita kiel (produktoprosternaĵo, produto).
La dimensio de la (produktoprosternaĵo, produto) duktosternaĵo estas la (sumo, sumi) de la (dimensioj, dimensias) de ĝia (faktoroj, faktoras). Ĝia topologio estas la (produktoprosternaĵo, produto) topologio, kaj Kartezia produto de (abakoj, abakas) estas abako por la (produktoprosternaĵo, produto) duktosternaĵo. Tial, (maparo, atlaso, atlanto) por la (produktoprosternaĵo, produto) duktosternaĵo povas esti konstruita uzanta (maparoj, atlasoj, atlantoj) por ĝia (faktoroj, faktoras). Se ĉi tiuj (maparoj, atlasoj, atlantoj) difini diferenciala strukturo sur la (faktoroj, faktoras), la korespondanta (maparo, atlaso, atlanto) difinas diferenciala strukturo sur la (produktoprosternaĵo, produto) duktosternaĵo. La sama estas vera por (ĉiu, iu) alia strukturo difinis sur la (faktoroj, faktoras). Se unu de la (faktoroj, faktoras) havas rando, la (produktoprosternaĵo, produto) duktosternaĵo ankaŭ havas rando. Karteziaj produtoj (majo, povas) kutimi konstrui _tori_ kaj finia (cilindroj, cilindras), ekzemple, kiel '''S'''<sup>1</sup> &(tempoj, tempas); '''S'''<sup>1</sup> kaj '''S'''<sup>1</sup> &(tempoj, tempas); [0, 1], respektive.
=== Duktosternaĵo kun rando ===
''duktosternaĵo kun rando'' estas duktosternaĵo kun rando. Ekzemple folio papera kun rondigitaj anguloj estas 2-duktosternaĵo kun 1-dimensia rando. La rando de la ''n''-duktosternaĵo estos esti (''n''-1)-duktosternaĵo. Solida cirklo, tio estas cirklo kun la eno (enspacis, plenigita) en, estas nomita disko, estas 2-duktosternaĵo kun rando, ĝia rando estante cirklo. Solida sfero estas nomita pilko. Ĉi tiu estas 3-duktosternaĵo kun 2-dimensia rando, la sfero. (Vidi ankaŭ [[Rando (topologio)]]).
=== Gluanta laŭ (randoj, randas) ===
Du (duktojsternaĵoj, duktas) kun (randoj, randas) povas esti gluita kune laŭ rando. Se ĉi tiu estas farita la (ĝusta, dekstra, rajto) vojo, la rezulto estas ankaŭ duktosternaĵo. Simile, du (randoj, randas) de unulita duktosternaĵo povas esti gluita kune.
Formale, la gluanta estas difinita per (dissurĵeto, bijekcio) inter la du (randoj, randas). Du punktoj estas (identigita, identigita) kiam ili estas mapita sur unu la alian. Por topologia duktosternaĵo ĉi tiu (dissurĵeto, bijekcio) devus esti homeomorfio, alie la rezulto estos ne esti topologia duktosternaĵo. Simile por diferencialebla dukta ĝi havas al esti _diffeomorphism_. Por alia (duktojsternaĵoj, duktas) alia (strukturoj, strukturas) devus konserviĝi.
Finia cilindro (majo, povas) esti konstruita kiel duktosternaĵo per startanta kun filmo '''R''' &(tempoj, tempas); [0, 1] kaj gluanta paro de kontraŭaj randoj sur la rando per taŭgi _diffeomorphism_. [[Projekcia ebeno]] (majo, povas) esti ricevita per gluanta sfero kun truo en ĝi al _Möbius_ filmo laŭ ilia respektiva cirkulero (randoj, randas).
==Klasoj de (duktojsternaĵoj, duktas)==
=== Topologiaj duktojsternaĵoj ===
La plej simpla speco de duktosternaĵo al difini estas la topologia duktosternaĵo, kiu (aspektas, aspektoj, rigardas) loke ŝati iu "ordinara" [[Eŭklida spaco]] '''R'''<sup>''n''</sup>. Formale, topologia duktosternaĵo estas [[topologia spaco]] loke homeomorfia al Eŭklida spaco. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke) ĉiu punkto havas kvartalo por kiu tie ekzistas [[homeomorfio]] ((dissurĵeta, bijekcia) kontinua funkcio kies inverso estas ankaŭ kontinua) (mapanta, bildigo) (tiu, ke) kvartalo al '''R'''<sup>''n''</sup>. Ĉi tiuj (homeomorfioj, homeomorfias, homeomorfiecoj, homeomorfiecas) estas la (abakoj, abakas) de la duktosternaĵo.
Kutime aldona teknika (supozoj, supozas) sur la topologia spaco estas farita al ekskludi malnormala (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas). Ĝi estas kutima al postuli (tiu, ke) la spaco esti _Hausdorff_ kaj (sekundo, dua) numerebla.
La ''dimensio'' de la duktosternaĵo je certa punkto estas la dimensio de la Eŭklida spaco (abakoj, abakas) je (tiu, ke) punkta mapo al (nombro ''n'' en la difino). Ĉiuj punktoj en koneksa duktosternaĵo havi la sama dimensio. Iu (aŭtoroj, aŭtoras) postuli (tiu, ke) ĉiuj (abakoj, abakas) de topologia dukta mapo al la sama Eŭklida spaco. En (tiu, ke) (kesto, okazo) ĉiu topologia duktosternaĵo havas topologia invarianto, ĝia dimensio. Alia (aŭtoroj, aŭtoras) permesi disaj unioj de topologiaj duktojsternaĵoj kun diferencanta (dimensioj, dimensias).
=== Diferencialeblaj duktojsternaĵoj ===
Por plej aplika speciala speco de topologia duktosternaĵo, '''diferencialebla duktosternaĵo''', estas uzita. Se la loka (abakoj, abakas) sur duktosternaĵo estas kongrua en certa (senso, senco), unu povas difini (direktoj, instrukcio), tangentaj spacoj, kaj diferencialeblaj funkcioj sur (tiu, ke) duktosternaĵo. En aparta ĝi estas ebla al uzi [[kalkulo]] sur diferencialebla duktosternaĵo. Ĉiu punkto de ''n''-dimensia diferencialebla duktosternaĵo havas [[tangenta spaco]]. Ĉi tiu estas ''n''-dimensia Eŭklida spaco konsistanta de la tangento (vektoroj, vektoras) de la kurboj tra la punkto.
Du gravaj klasoj de diferencialeblaj duktojsternaĵoj estas '''glata''' kaj '''analitikaj duktojsternaĵoj'''. Por glata (duktojsternaĵoj, duktas) la trairo (mapoj, mapas) estas glata, tio estas malfinie diferencialebla. Analitikaj duktojsternaĵoj estas glata (duktojsternaĵoj, duktas) kun la aldona kondiĉo (tiu, ke) la trairo (mapoj, mapas) estas analitiko (teknika difino kiu lakse (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke) Taylor's teoremo tenas). La sfero povas esti donita analitika strukturo, kiel povas plej familiaraj kurboj kaj (surfacoj, surfacas).
=== Rimanaj duktojsternaĵoj ===
Povi mezuri (distancoj, distancas) aŭ kalkuli anguloj sur (duktojsternaĵoj, duktas), unu prezentas la nocio de Rimana duktosternaĵo. '''Rimana duktosternaĵo''' estas analitika duktosternaĵo en kiu ĉiu [[tangenta spaco]] estas (ekipita, armita) kun ena (produktoprosternaĵo, produto) < , > en maniero kiu (varias, ŝanĝiĝas) glate de punkto al punkto. Donita du tangento (vektoroj, vektoras) '''u''' kaj '''v''' la ena (produktoprosternaĵo, produto) <'''u''','''v'''> donas reela nombro. La punkto (aŭ skalaro) (produktoprosternaĵo, produto) estas tipa ekzemplo de ena (produktoprosternaĵo, produto). Ĉi tiu permesas unu al difini diversaj (komprenaĵoj, nocioj, nocias) kiel [[longo]], [[Angulo|anguloj]], [[Areo|(areoj, areas)]] (aŭ [[Volumeno|(volumenoj, volumenas, volumoj, volumas)]]), [[kurbeco]], [[Gradiento|(gradientoj, gradientas)]] de funkcioj kaj [[diverĝenco]] de [[Vektora kampo|vektoraj kampoj]].
La sfero, Eŭklida spaco kaj plej familiaraj kurboj kaj (surfacoj, surfacas) povas esti donita la strukturo de Rimana duktosternaĵo.
=== (Mensogi, Kuŝi) (grupoj, grupas) ===
'''(Mensogi, Kuŝi) (grupoj, grupas)''' estas aparte grava klaso de (duktojsternaĵoj, duktas). Ili estis nomita post _Sophus_ (Mensogi, Kuŝi) (lasta nomo prononcita ''_Lee_''). Kaj ankaŭ havanta ena (produktoprosternaĵo, produto) ili ankaŭ havi la strukturo de [[topologia grupo]], permesanta nocio de multipliko de punktoj sur la duktosternaĵo. (Ĉiu, Iu) kompakta (Mensogi, Kuŝi) grupo povas esti donita Rimana dukta strukturo. La cirklo povas esti donita la strukturo de (Mensogi, Kuŝi) grupo — la [[cirkla grupo]]. La grupa strukturo estas tiam la multiplika grupo de ĉiuj [[kompleksaj nombroj]] kun [[modulo]] 1.
Eŭklida vektora spaco kun la grupa operacio de vektora aldono estas ekzemplo de ne-kompakta (Mensogi, Kuŝi) grupo. Alia (ekzemploj, ekzemplas) de (Mensogi, Kuŝi) (grupoj, grupas) inkluzivi speciala (grupoj, grupas) de matricoj, kiu estas ĉiuj (subgrupoj, subgrupas) de [[ĝenerala lineara grupo]], la grupo de ''n'' per ''n'' matricoj kun ne-nula determinanto. Se la matricaj elementoj estas [[Reela nombro|reelaj nombroj]], ĉi tiu estos esti ''n''<sup>2</sup>-dimensia malkonektita duktosternaĵo. La [[Perpendikulara grupo|perpendikularaj grupoj]], la [[Simetria grupo|simetriaj grupoj]] de la [[sfero]] kaj _hyperspheres_, estas ''n''(''n''-1)/2 dimensia (duktojsternaĵoj, duktas), kie ''n''-1 estas la dimensio de la sfero. Plui (ekzemploj, ekzemplas) povas troviĝi en la (baremo, tabelo, tablo) de (Mensogi, Kuŝi) (grupoj, grupas).
=== Alia (klavas, tipoj) de (duktojsternaĵoj, duktas) ===
* A '''[[kompleksa duktosternaĵo]]''' estas duktosternaĵo modelis sur '''C'''<sup>''n''</sup> kun [[Holomorfa|holomorfaj]] trairaj funkcioj sur abako parte kovras. Ĉi tiuj (duktojsternaĵoj, duktas) estas la baza (objektoj, objektas) de studi en kompleksa geometrio. Unu-komplekso-dimensia duktosternaĵo estas nomita [[Rimana surfaco]]. ((Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke) ''n''-dimensia kompleksa duktosternaĵo havas dimensio 2''n'' kiel diferencialebla duktosternaĵo.)
* '''Malfinio dimensia (duktojsternaĵoj, duktas)''': al enkalkuli malfinio (dimensioj, dimensias), unu (majo, povas) konsideri [[Banaĥa duktosternaĵo|Banaĥaj duktojsternaĵoj]] kiu estas loke homeomorfia al [[Banaĥa spaco|Banaĥaj spacoj]]. Simile, _Fréchet_ (duktojsternaĵoj, duktas) estas loke homeomorfia al _Fréchet_ (spacoj, kosmoj, spacetoj).
* A '''_symplectic_ duktosternaĵo''' estas speco de duktosternaĵo kiu estas kutima prezenti la fazaj spacoj en [[klasika mekaniko]]. Ili estas dotita kun 2-formo (tiu, ke) difinas la _Poisson_ krampo. Proksime rilatanta tipo de duktosternaĵo estas (kontakti, kontakto) duktosternaĵo.
==Orientebleco==
Konsideri topologia duktosternaĵo kun (abakoj, abakas) (mapanta, bildigo) al '''R'''<sup>''n''</sup>. Donita (mendita, ordita) bazo por '''R'''<sup>''n''</sup>, abako kaŭzas ĝia peco de la duktosternaĵo al sin akiri (senso, senco) de (ordenanta, mendanta, ordanta, dimensianta, komandanta, ordigo), kiu povas esti vidita kiel ĉu (ĝusta, dekstra, rajto)-(manis, nadlita) aŭ (maldekstre, restis)-(manita, nadlita). Parte kovranta (abakoj, abakas) estas ne postulita al (kongrui, konsenti) en ilia (senso, senco) de (ordenanta, mendanta, ordanta, dimensianta, komandanta, ordigo), kiu donas (duktojsternaĵoj, duktas) grava libereco. Por iu (duktojsternaĵoj, duktas), ŝati la sfero, (abakoj, abakas) povas elektiĝi porke parte kovranta (regionoj, regionas) (kongrui, konsenti) sur ilia "_handedness_"; ĉi tiuj estas ''orientebla'' (duktojsternaĵoj, duktas). Por aliaj, ĉi tiu estas neebla. La lasta ebleco estas facila al (altano, preteratenti), ĉar (ĉiu, iu) fermita surfaco enigita (sen (mem, sin)-komunaĵo) en tri-dimensia spaco estas orientebla.
===(Ekzemploj, Ekzemplas)===
Iu _illustrative_ (ekzemploj, ekzemplas) estas: (1) la _Möbius_ filmo, kiu estas duktosternaĵo kun rando, (2) la _Klein_ botelo, kiu devas sekci sin en 3-spaco, kaj (3) la [[reala projekcia ebeno]], kiu ekestas (naive, krude, nature) en [[geometrio]].
====_Möbius_ filmo====
Komenci kun malfinia cirkulera cilindro staranta vertikale, duktosternaĵo sen rando. Tranĉaĵa transa ĝi alta kaj malalta al produkti du cirkulero (randoj, randas), kaj la cilindra filmo inter ilin. Ĉi tiu estas orientebla duktosternaĵo kun rando, sur kiu "(kirurgio, ĥirurgio)" estos esti (aperita, plenumita). Tranĉaĵo la filmo (malfermi, malfermita), porke ĝi povis malvolvi al iĝi ortangulo, sed konservi kapti (la sencon) sur la tranĉi (randoj, randas, finoj, finas). Tordi unu fino 180°, farante la ena surfaco (vizaĝo, edro) ekster, kaj glui la (randoj, randas, finoj, finas) dorso kune senjunte. Ĉi tiuj rezultoj en filmo kun konstanta duono-tordi: la _Möbius_ filmo. Ĝia rando estas jam ne paro de cirkloj, sed (topologie) unulita cirklo; kaj kio estis iam ĝia "ene" havas kunfandita kun ĝia "ekster", porke ĝi nun havas nur ''unulita'' flanko.
==== _Klein_ botelo ====
Preni du _Möbius_ (bendoj, filmoj, filmas); ĉiu havas unulita ciklo kiel rando. _Straighten_ ekster tiuj cikloj enen cirkloj, kaj estu la (bendoj, filmoj, filmas) _distort_ enen [[Kruci-ĉapo|(kruci-ĉapoj, kruci-ĉapas)]]. Gluanta la cirkloj kune estos produkti nova, fermita duktosternaĵo sen rando, la _Klein_ botelo. Fermanta la surfaco faras nenio al plibonigi la manko de orientebleco, ĝi nure forprenas la rando. Tial, la _Klein_ botelo estas fermita surfaco sen distingo inter ene kaj ekster. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke) en tri-dimensia spaco, _Klein_ botela surfaco devas trapasi sin. Konstruaĵo _Klein_ botelo kiu estas ne (mem, sin)-sekcanta postulas kvar aŭ pli (dimensioj, dimensias) de spaco.
==== Reala projekcia ebeno ====
Komenci kun sfero centrita sur la fonto. Ĉiu linio tra la fonto trapikas la sfero en du kontraŭaj punktoj nomita ''(antipodoj, antipodas)''. Kvankam estas ne vojo al fari do fizike, ĝi estas ebla al matematike kunfandi ĉiu antipoda paro enen unulita punkto. La fermita surfaco do produktis estas la reala projekcia ebeno, ankoraŭ alia ne-orientebla surfaco. Ĝi havas nombro de ekvivalento (priskriboj, priskribas) kaj konstruoj, sed ĉi tiu vojo eksplikas ĝia nomo: ĉiuj punktoj sur (ĉiu, iu) donita linio tra la fonto (projekcias, projektoj, projektas) al la sama "punkto" sur ĉi tiu "ebeno".
== (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas) de (duktojsternaĵoj, duktas) ==
* '''_Orbifolds_''': An _orbifold_ estas ĝeneraligo de duktosternaĵo permesanta por certa (specoj, specas) de "(kuriozecoj, specialaĵoj, specialaĵas)" en la topologio. Malglate parolanta, ĝi estas spaco kiu loke (aspektas, aspektoj, rigardas) ŝati la (rilatoj, rilatas, kvocientoj, kvocientas) de iu simpla spaco (''e.g.'' [[Eŭklida spaco]]) per la (agoj, agas) de diversaj [[Finia grupo|finiaj grupoj]]. La (kuriozecoj, specialaĵoj, specialaĵas) esti konforma laŭ fiksaj punktoj de la grupaj agoj, kaj la (agoj, agas) devas esti kongrua en certa (senso, senco).
* '''Algebraj variecoj kaj (komplotas, skemoj, skemas)''': An [[algebra diversaj]] estas gluita kune de afinaj algebraj variecoj, kiu estas nulaj aroj de (polinomoj, polinomas) super algebre fermitaj kampoj. (Komplotas, Skemoj, Skemas) estas ankaŭ gluis kune de afinaj skemoj, kiu estas ĝeneraligo de algebraj variecoj. Ambaŭ estas rilatanta al (duktojsternaĵoj, duktas), sed estas konstruitaj uzantaj kunligaĵoj anstataŭ (maparoj, atlasoj, atlantoj). Pro singularaj punktoj unu ne povas alpreni diversaj estas duktosternaĵo ((ebena, para) kvankam _linguistically_ la Franca ''_variété_'', Germana ''_Mannigfaltigkeit_'' kaj Angla ''duktosternaĵo'' estas multa la sama aĵo).
* '''_CW_-kompleksoj''': A _CW_ komplekso estas topologia spaco (formis, formularita, knedita) per gluanta (objektoj, objektas) de malsama dimensinombro kune; por ĉi tiuj kaŭzaj ili ĝenerale estas ne (duktojsternaĵoj, duktas). Tamen, ili estas de centralo (interezo, interesi) en [[algebra topologio]], aparte en homotopeca teorio, kie tia dimensia difektas estas akceptebla.
-->
== Vidi ankaŭ jenon: ==
* [[Listo de duktojsternaĵoj]]
* [[Kurbo]] (1-duktosternaĵo)
* [[Surfaco]] (2-duktosternaĵo)
* [[3-duktosternaĵo]]
* [[4-duktosternaĵo]]
* [[5-duktosternaĵo]]
{{komentitaj partoj}}
[[Kategorio:Diferenciala geometrio]]
[[Kategorio:Geometria topologio]]
[[Kategorio:Duktojsternaĵoj]]
{{LigoElstara|fr}}
|
