Senfineco: Malsamoj inter versioj

[kontrolita revizio][kontrolita revizio]
Enhavo forigita Enhavo aldonita
aldonetoj
Linio 1:
[[Dosiero:Infinite.svg|thumbeta|rightdekstra|[[Simbolo]] por esprimi senfinecon]]
En la matematiko kaj filozofio '''senfineco''' (aŭ ''malfinionefinio'' aŭ ''infinito'') havas plurajn signifojn, kiuj ĉiuj celas ke la priparolata objekto en ia senco ne havas finon. Ekde antikvaj tempoj filozofoj kaj matematikistoj klopodis kompreni kaj analizi nefinion, sed ofte temis pri misgvidaj argumentoj, ĝis [[Georg Cantor]] pli formale kaj rigore analizis la koncepton fine de la 19a19-a jarcento, interalie enkondukante klaran manieron distingi grandecojn de nefinio.
 
Matematiko uzas la simbolon ∞ ([[Unikodo|unikode]] U+221E) por signi nefiniecon.
Estas grave distingi la diversajn uzojn de la koncepto "senfineco" en la diversaj kampoj de la matematiko. Ekz-e, en [[analitiko]], "senfineco" estas koncepto uzata por paroli pri limo de [[vico]], kiu ne havas realnombran aŭ kompleksnombran limon; tie faras sencon distingi inter pozitiva kaj negativa senfineco. En [[aroteorio]] aliflanke, ne havas sencon paroli pri negativa senfineco, sed tamen ekzistas pluraj malsamaj senfinecoj: Ekz-e oni povas diri ke la aro de [[Reala nombro|realaj nombroj]] pli grandas ol la aro de [[Natura nombro|naturaj nombroj]], kvankam ambaŭ estas senfinaj.
 
Estas grave distingi la diversajn uzojn de la koncepto "senfineco" en la diversaj kampoj de la matematiko. Ekz-e, en [[analitiko]], "senfineco" estas koncepto uzata por paroli pri limo de [[vico]], kiu ne havas realnombranreelnombran aŭ kompleksnombran limon; tie farashavas sencon distingi inter pozitiva kaj negativa senfineco. En [[aroteorio]] aliflanke, ne havas sencon paroli pri negativa senfineco, sed tamen ekzistas pluraj malsamaj senfinecoj: Ekz-e oni povas diri ke la aro de [[Reala nombroReelo|realajreelaj nombroj]] pli grandas ol la aro de [[Natura nombro|naturaj nombroj]], kvankam ambaŭ estas senfinaj. La kialo estas, ke la naturaj nombroj ne sufiĉas por numeri la reelajn.
 
== Historio ==
=== Barato ===
 
Kvar jarcentojn a. K. diversaj [[Barato|barataj]] tekstoj traktas senfinecon. [[Upaniŝado]] mencias ke "se vi forprenas aŭ aldonas parton al senfineco, tiu restas senfineco". Matematika teksto ''Surya Prajnapti '' asertas koncepton de tri specoj de kvantoj: nombreblaj (ekzemple naturaj nombroj), nenombreblaj (tre grandaj), kaj senfinaj.
 
=== Budhismo ===
Linio 26 ⟶ 28:
[[Gottfried Wilhelm Leibniz|Lejbnico]], unu el la inventintoj de la [[infinitezima kalkulo]], spekulativis multe pri senfinaj nombroj kaj ties uzoj en matematiko. Li opiniis, ke [[senfinecono|senfineconaj]] kaj senfinaj kvantoj estis iaj idealaj ekzistaĵoj, sen la sama naturo de palpeblaj kvantoj, tamen kun similaj ecoj kaj reguloj.
 
=== La realareela analizoanalitiko ===
 
En la realareela analizo[[analitiko]], la simbolo ∞ (nomita "infinito") reprezentas nebaritan limeson. ''x'' → ∞ signifas ke ''x'' kreskas senbare, kaj ''x'' → -∞ signifas ke ''x'' malkreskas senbare.
 
Senfineco estas uzata ofte ne nur por difini limeson, sed kiel memstara kvanto aldonita al la aro de realaj nombroj kiel topologia spaco.
 
=== La kompleksa analizoanalitiko ===
 
Simile kiel en la reala analizoanalitiko, ∞ reprezentas nebaritan sensignan limeson. ''x'' → ∞ signifas ke la grando |''x''| kreskas senbare. Kaj simile, punkto ∞ aldoneblas al la kompleksa spaco kiel topologia spaco.
 
=== La nenorma kalkulo ===
 
Origine Lejbnico kaj Neŭtono konceptis senfineconajn kvantojn, sed nesufiĉe rigore, do posteuloj enkondukis la konceptojn de limoj kaj baroj por pliformaligi la matematikon. Tamen en la 20a20-a jarcento oni malkovris metodon uzi senfineconajn kvantojn pli rigore kaj logike. La inverso de senfinecona kvanto estas senfina. Tiel tiaj kvantoj estas elementoj de [[korpo (algebro)|korpo]], kaj se H estas senfina nombro, do 2+H kaj H+1 estas aliaj malsamaj senfinaj nombroj. Tio estas tute alia alveno ol tiotiu de Cantor.
 
=== La teorio de aroj ===
Linio 44 ⟶ 46:
Alia speco de "senfineco" estas la [[ordonombro]]j kaj [[kvantonombro]]j de la [[aroteorio]]. Cantor evoluigis sistemon de transfiniaj nombroj, el kiuj la unua estas ℵ<sub>0</sub> (alef-nul), kiu reprezentas la kvantonombron de la aro de naturaj nombroj. Ĉi tiu moderna koncepto naskiĝis en la esploroj de Georg Cantor, [[Gottlob Frege]], [[Richard Dedekind]] kaj aliaj, baze de la koncepto de aroj, kaj aroj de aroj.
 
Kerna ideo, dank' al Dedekind, estas tiotiu de unu-al-unu-rilato inter la elementoj de 2 aroj, kiel metodo kompari la grandojn de la aroj. IliĜi forĵetis la malnovan nocion ke parto ne povas samgrandi al la tuto. Tiam senfina aro difineblas kiel aro kiu havas la saman grandon kiel iu parto de la tuto. Ekzemple, ekzistas same multe da paraj naturaj nombroj kiom da naturaj nombroj.
 
Cantor plu evoluigis la ideojn, kun distingo de ordonombroj kaj kvantonombroj. Se oni rigardas naturajn nombrojn en siailia funkcio kiel mezuriloj por grandeco de finhavajfiniaj aroj, tiam la vastigo al senfinaj aroj donas la [[kvantonombro]]jn. Se oni aliflanke rigardas la naturajn nombrojn en siailia funkcio kiel indikiloj de pozicioj en iu finhavafinia [[ordigita aro]], tiam vastigo al senfinaj aroj donas la ordonombrojn. Por povi senchave paroli pri pozicioj en senfina ordigita aro, oni tamen devas limigi sin al la [[bona ordo|bone ordigitaj aroj]], kiuj estas la ordigitaj aroj ĉe kiuj ĉiu [[subaro]] havas plej malgrandan elementon.
 
La plej malgranda senfina kvantonombro ℵ<sub>0</sub> egalas al la kvanto de naturaj nombroj. Se montreblas unu-al-unu-rilato inter iu aro A kaj la aro de naturaj nombroj, tiam A estas ''numerebla''. Se iu aro A tro grandas por havi unu-al-unu-rilaton kun la naturaj nombroj, tiam A estas ''nenumerebla''.
 
Unu el la ĉefaj teoremoj de Cantor estas, ke la aro de realajreelaj nombroj pli grandas ol la aro de naturaj nombroj, t. e. la aro de realojla reeloj estas nenumerebla. Eble eĉ pli surprizesurpriza estas tio, ke la aro de [[racia nombro|raciaj nombroj]] ja estas numerebla, ĉar eblas difini unu-al-unu-rilaton inter la du aroj de naturaj nombroj kaj raciaj nombroj. Cantor elpensis utilan pruvan metodon, la ''diagonalan argumenton'', por pruvi tiajn rezultojn.
 
La [[kontinuaĵa hipotezo]] temas pri tio, ĉu ekzistas aro kun kvantonombro inter tiu de la naturaj nombroj kaj tiu de la realoj nombroj. Estis pruvite ke ĝi nek pruveblas nek kontraŭpruveblas per la kutimaj aroteoriaj aksiomoj (nomataj ''Zermelo-Fraenkel-aksiomoj kun elekto-aksiomo'' (ZFE)), do aperas du variaĵoj de aroteorio, depende de tio, ĉu oni supozas ĝin aŭ ĝian malon kiel aldonan aksiomon.
 
== Geometrio kaj topologio ==
 
Senfineco aperas ofte en [[geometrio]] kaj [[topologio]]. EstasEkzistas spacoj senfin-dimensiaj.
 
== FraktalojFraktoj ==
 
[[Fraktalo|Frakto]]j estas moderna branĉo de matematiko, kiu temas ofte pri objektoj kiu prezentas saman aŭ similan strukturon je diversaj niveloj, tiel montrante senfinan detalecon kaj memsimilecon.
 
== Matematiko intence sen senfineco ==
Linio 75 ⟶ 77:
 
== Eksteraj ligiloj ==
* [http://www.pecorelettriche.it/download/gotingeno-davideosendacommon.pdf Lasta lekcio en Gotingeno] ({{eo}}) en PDF-formatoformo
* [http://www.earlham.edu/~peters/writing/infapp.htm A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets] – Anglalingva enkonduko en la matematikon de senfinaj aroj
* [http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm Infinite Reflections] – Anglalingva filozofia eseo pri senfineco