'''Modula aritmetiko''' estas sistemo de [[aritmetiko]] por [[ Entjero|(entjeroj, entjeras)entjero]] j, kie nombroj " _wrap_turnigzas ĉirkaŭreen" post kiam ili atingiatingan certa valorovaloron — la '''modulo''' n. Modula aritmetiko estis prezentita per [[Carl Friedrich GAUSS]] en lia libro '' _Disquisitiones_Disquisitiones _Arithmeticae_Arithmeticae'' (publikigita , publikigis) en [[1801 ]]). ▼{{polurinda movu|Modula aritmetiko}}
:''Ĉi tiu artikolo estas pri [[Algebro|algebra]] koncepto. Vidi [[module]] por alia uzas.''
Ekzemplo por modula aritmetiko estas kutima horloĝo: la aritmetiko de horoj sur la horloĝo. Se la tempo estas 7 horoj do post 8 horoj estas 15 horoj (kiel en kutima aldono). Se la tempo estas 7 horoj do post 19 horoj estas (7+19)=26 horoj (laŭ en kutima aldono), sed horloĝo uzas modulon 24, do estas ''26 '''mod''' 24''=2 horoj (de la sekva diurno).
▲'''Modula aritmetiko''' estas sistemo de [[aritmetiko]] por [[Entjero|(entjeroj, entjeras)]], kie nombroj "_wrap_ ĉirkaŭ" post ili atingi certa valoro — la '''modulo'''. Modula aritmetiko estis prezentita per [[Carl Friedrich GAUSS]] en lia libro ''_Disquisitiones_ _Arithmeticae_'' (publikigita, publikigis) en 1801.
Unidirekta al kompreni modula aritmetiko estas al konsideri "horloĝa aritmetiko": la aritmetiko de horoj sur la horloĝo (vizaĝo, edro). Se la tempo estas (tononomita, notita) je 7 horo kaj tiam denove 8 horoj poste, tiam iom ol (randanta, finanta) je 15 horo (kiel en kutima aldono), la tempo estos reale esti 3 horo, _albeit_ unu tago poste. Ankaŭ, se la horloĝo startas je tagmezo kaj 7 horoj _elapses_ trifoje (3 × 7), tiam la tempo estos esti 9 horo (iom ol 21). Ekde la tempo startas super je 1 post (trairanta, pasanta) 12, ĉi tiu estas simila al aritmetiko ''module'' 12, escepti (tiu, ke) normala modula aritmetiko devus komenci je 0 kaj "(ĵetiĝadi, bulko, ruli, volvi) super" post 11. La 24 hora horloĝo, kiu iras de 00:00 al 23:59, estas pli proksima proksimuma kalkulado al modula aritmetiko, uzanta ''modulo'' de 24.
Du entjeroj ''a'' kaj ''b'' estas '''kongruaj''' [[module]] ''n'', se
'' Aa'' kaj ''b'' havihavas la samasaman restoreston kiam (dividita,estas dividis)dividitaj per n (por pozitivaj entjeroj), aŭ ekvivalente , (tiu, ke ) ilia diferenco ( A−ba−b) estas [[ Multipliko|multajproduto]] de ''n'' kaj entjero (por ĉiaj entjeroj). En ĉi tiu (kestookazo, okazo),la ĝiafero estas esprimita kiel ▼
Du (entjeroj, entjeras) :''Aa'' kaj≡ ''b'' estas dirita al esti ('''kongruamod''' [[module]] ''n'', se).
▲''A'' kaj ''b'' havi la sama resto kiam (dividita, dividis) per n, aŭ ekvivalente, (tiu, ke) ilia diferenco (A−b) estas [[Multipliko|multaj]] de ''n''. En ĉi tiu (kesto, okazo), ĝi estas esprimita kiel
:''A'' ≡ ''b'' ('''_mod_''' ''n'').
Ekzemple,
:38 ≡ 14 ('''_mod_mod''' 12)
ĉar 38 − 14 = 24 kiu estas entjera obligo de 12.
ĉar 38 − 14 = 24 kiu estas multaj de 12. Por pozitivaj nombroj, kongrueco povas ankaŭ esti penso de kiel asertanta (tiu, ke) du nombroj havi la sama [[resto]] post dividanta per la modulo ''n''. Do,
:38 ≡ 14 ('''_mod_''' 12)
ĉar kiam (dividita, dividis) per 12 ambaŭ nombroj doni 2 kiel resto.
Kongrueco estas [[ekvivalentrilato]], kaj la (ekvivalento-klaso, [[ekvivalentklaso)]] de la entjero ''A'' estas signifita per [''A'']<sub>''n''</sub> = { ..., ''A'' − 2''n'', ''A'' − ''n'', ''A'', ''A'' + ''n'', ''A'' + 2''n'', ''A'' + 3''n'', ...}. Ĉi tiu aro de ĉiuj (entjeroj, entjeras) kongrua al ''A'' module ''n'' estas (nomita, vokis) la '''kongrueca klaso''' aŭ '''n-modula restoklaso''' de ''A'' module ''n'', kaj estas ankaŭ signifis per <math>\hat{a}</math>.
Se
|
