Laplaca ekvacio: Malsamoj inter versioj
| [kontrolita revizio] | [kontrolita revizio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Addbot (diskuto | kontribuoj) e Roboto: Forigo de 27 interlingvaj ligiloj, kiuj nun disponas per Vikidatumoj (d:q339444) |
Iketsi (diskuto | kontribuoj) e Nekorekta linirompo (<br>), anstataŭigis: thumb| → eta| (4), |left → |maldekstra, |right → |dekstra, </br> → <br> |
||
Linio 4:
== Difino ==
[[Dosiero:Coord system CA 0.svg|
Se <math>u</math> estas [[funkcio (matematiko)|funkcio]] difinita el [[eŭklida spaco]] <math>\R^n</math> kun [[reela nombro|reelaj valoroj]] en <math>\R</math>, [[kontinua funkcio|kontinua]] kaj dufoje [[derivaĵo (matematiko)|diferenciebla]], la '' laplaca ekvacio'' de <math>u</math> estas:
Linio 12:
kie <math>\Delta</math> estas la [[laplaca operatoro]] aŭ ''laplaciano''.
En tri-dimensia sistemo, la problemo konsistas en trovi tian funkcion <math>u</math> tiel, ke
[[Dosiero:Coord system CY 1.svg|
en [[karteziaj koordinatoj]]
Linio 24:
</math>
[[Dosiero:3D Spherical.svg|
en [[cilindraj koordinatoj]]
Linio 38:
: <math> {1 \over r^2}{\partial \over \partial \rho}\!\left(r^2 {\partial u \over \partial r}\right)
\!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial u \over \partial \theta}\right)
\!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 u \over \partial \varphi^2} =0 \ .</math>
La solvoj de ekvacio de Laplace nomiĝas [[harmona funkcio|harmonaj funkcioj]].
Se du funkcioj estas solvoj de laplaca ekvacio (aŭ iu ajn lineara homogena [[diferenciala ekvacio]]), ilia sumo (aŭ iu ajn [[lineara kombinaĵo]]) estas ankaŭ solvo. Tia propreco, nomita ''principo de supermetado'', estas tre utila, ekz. por solvi malsimplajn problemojn per sumo da simplaj solvoj.
Kiam la dekstra membro de la laplaca ekvacio estas funkcio ''f'', la ekvacio estas skribita tiel:
Linio 54:
== Limkondiĉoj ==
La laplaca ekvacio signifas, ke estas neniu fonto en la konsiderata [[domajno (matematiko)|domajno]] <math>D</math>, do estas la kondiĉoj de ties limoj, kiuj permesas kalkuli la funkcion <math>u</math> interne de tia domajno <math>D</math>. La plej komunaj limkondiĉoj estas la ''Dirichlet'' kaj la ''Neumann'' kondiĉoj.
===Problemo de Dirichlet===
[[Dosiero:Laplace's equation on an annulus.jpg|
La problemo de [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] pri la laplaca ekvacio konsistas trovi solvon <math>u</math> en iu [[domajno (matematiko)|domajno]] <math>D</math> tiel, ke <math>u</math> konformu al determinita(j) funkcio(j) <math>g</math> laŭ difinita(j) limo(j) <math>\partial D</math>:
Linio 67:
La [[laplaca operatoro]] aperas en la ''[[ekvacio de varmo]]'', ia fizika interpreto de tiu problemo estas la sekvanta: fiksi la temperaturon laŭ la rando de la domajno en akordo kun iu specifo determinita de limkondiĉo. Varmo unue disfluas kaj varias ĝis daŭra stato, pri kiu la temperaturo en ĉiu punkto de la domajno ne plu ŝanĝas. La fina disvastiĝo de la temperaturo ene de la domajno estas la solvo de problemo de Dirichlet.
===Problemo de Neumann===
Linio 97 ⟶ 96:
kie ''u<sub>x</sub>'' estas la unua parta derivaĵo de ''u'' rilate al ''x''.
Kaj pro la propreco de [[simetrio de duaj derivaĵoj]] pri funkcioj kun kontinuaj partaj derivaĵoj, sekvas ke:
:<math>u_{yy} = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x.\,</math>
Tio pruvas, ke ''u'' tial kongruas kun la laplaca ekvacio. Sama kalkulo montru, ke ''v'' kongruas ankaŭ kun la laplaca ekvacio.
Inverse, konsiderante harmonan funkcion, ĝi estas la reela parto de analitika funkcio <math>\Psi(z)</math> (minimume lokale), eblas konsideri ĝin tiel:
Linio 115 ⟶ 114:
:<math>d \psi = -\Phi_y\, dx + \Phi_x\, dy.\,</math>
La ekvacio de Laplace por <math>\Phi</math> implicas, ke la kondiĉo de [[integralebleco]] validas por <math>\psi</math>:
:<math>\psi_{xy} = \psi_{yx},\,</math>
Linio 123 ⟶ 122:
:<math>\Phi = \log \rho, \,</math>
la konforma analitika funkcio estas:
:<math>\Psi(z) = \log z = \log \rho + i\varphi. \,</math>
Linio 135 ⟶ 134:
:<math>\Psi(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n,\,</math>
kun taŭgaj difinitaj koeficientoj, kies reelaj kaj imaginaraj partoj estas donitaj per
:<math>c_n = a_n + i b_n.\,</math>
Linio 171 ⟶ 170:
=== Elektrostatiko ===
Laŭ la [[ekvacioj de Maxwell]], [[elektra indukdenso]] (''u'',''v'') en du-dimensia spaco, kiu estas sendependa de tempo konformas al
:<math>\begin{cases}\nabla \times (u,v) = v_x -u_y =0,\,\\
Linio 185 ⟶ 184:
:<math>\Phi_x = -u, \quad \Phi_y = -v.\,</math>
La dua ĉi supra ekvacio de Maxwell implicas ke:
:<math>\Phi_{xx} + \Phi_{yy} = -\rho_l,\,</math>
Linio 205 ⟶ 204:
* ({{en}}) [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde301.pdf Laplaca ekvacio (apartaj solvoj kaj problemoj kun randaj valoroj)] el EqWorld: The World of Mathematical Equations (''La mondo de matematikaj ekvacioj'').
* ({{en}}) [http://www.ntu.edu.sg/home/mwtang/bemsite.htm Trovu kiel eblas solvi ciferece problemojn konformajn kun laplaca ekvacio per metodo de randaj elementoj]
{{LigoLeginda|zh}}▼
[[Kategorio:Diferenciala kalkulo]]
Linio 210 ⟶ 211:
[[Kategorio:Elektromagnetismo]]
[[Kategorio:Elektrostatiko]]
▲{{LigoLeginda|zh}}
| |||