Konveksa aro: Malsamoj inter versioj

[[Dosiero:Convex polygon illustration1.png|right|thumb|Konveksa aro.]]

[[Dosiero:Convex polygon illustration2.png|right|thumb|Nekonveksa (konkava) aro.]]

Objekto kiu ne estas konveksa estas nomata kiel '''ne konveksa''' aŭ '''konkava'''.

 

[[Fermita aro|Fermitaj]] konveksaj aroj povas esti priskribitaj kiel komunaĵoj de ''fermitaj [[duonspaco]]j'' (fermita duonspaco estas aro de punktoj en spaco, ĉiu el kiuj situas en certa [[hiperebeno]] aŭ je unu certa flanko de ĉi tiu hiperebeno). Klaras ke ĉi tia komunaĵo de duonspacoj estas konveksa, kaj fermiĝi, ĉar eroj de la kombinaĵo estas konversaj kaj fermitaj. Por pruvi tion ke ĉiu konveksa aro povas esti prezentita kiel ĉi tia komunaĵo, bezonatas la [[apoga hiperebena teoremo]] en tiu formo ke por ĉiu donita fermita konveksa aro ''C'' kaj punkto ''P'' ekster ĝi, ekzistas fermita duonspaco ''H'' tia ke ĝi enhavas ne ''C'' kaj ne enhavas na ''P''. La apoga hiperebena teoremo estas speciala okazo de la [[Hahn-Banaĥa teoremo]] de [[funkcionala analitiko]].

 

{{Ĉefartikolo|Stela domajno}}

Estu ''C'' reela aŭ kompleksa vektora spaco. ''C'' estas '''stelo-konveksa''' se ekzistas <math>x_0</math> en ''C'' tia ke la rekta streko de <math>x_0</math> al ĉiu punkto ''y'' en ''C'' estas enhavita en ''C''. De ĉi tie konveksa aro estas ĉiam stelo-konveksa sed stelo-konveksa objekto estas ne ĉiam konveksa.

La difino de ''konveksa aro'' kaj ''konveksa koverto'' etendas al [[neeŭklida geometrio]] per difino de [[geodezia konvekseco|geodezie konveksa aro]] kiel tiu kiu) enhavas la [[geodezia]]jn strekojn kunigantajn ĉiujn du punktojn en la aro.

 

La nocio de konvekseco en la eŭklida spaco povas esti ĝeneraligita per modifo de la difino en iu aspekto. La komuna nomo "ĝeneraligita konvekseco" estas uzata, ĉar la rezultantaj objektoj havas certajn propraĵojn de konveksaj aroj.

 

Ekzemplo de ĝeneraligita konvekseco estas '''perpendikulara konvekseco''' aŭ '''orta konvekseco'''.

 

Aro ''S'' en la eŭklida spaco estas '''perpendikulare konveksa''' aŭ '''orte konveksa''', se ĉiu streko paralelo al iu el la koordinataj aksoj konektanta du punktoj de ''S'' kuŝas entute en ''S''. Eblas pruvi ke komunaĵo de ĉiu kolekto de orte konveksaj aroj estas orte konveksa. Iuj aliaj propraĵoj de konveksaj aroj estas validaj same bone.

 

La nocio de konvekseco povas esti ĝeneraligita al aliaj objektoj, se certaj propraĵoj de konvekseco estas elektitaj kiel [[aksiomo]]j.

 

Donita aro ''X'', '''konvekseco''' super ''X'' estas kolekto <math> \mathcal{C}</math> de subaroj de ''X'' kontentigantaj jenajn aksiomojn:

 

 

La eroj de <math> \mathcal{C}</math> estas nomataj kiel konveksaj aroj kaj la paro (''X'', <math> \mathcal{C}</math>) estas nomata kiel '''konvekseca spaco'''. Por la ordinara konvekseco, la unuaj du aksiomoj veras, kaj la tria unu estas bagatela.

 

== Eksteraj ligiloj ==

 

 

[[Kategorio:Konveksa geometrio]]