Platona solido: Malsamoj inter versioj

Ili estas la tri-dimensiaj analogoj de du-dimensiaj konveksaj [[regula plurlatero|regulaj plurlateroj]] kaj kvar-dimensiaj konveksaj [[regula plurĉelo|regulaj plurĉeloj]].

 

Konveksa pluredro estas platona solido se kaj nur se

Ĉiu platona solido povas pro tio esti priskribita per [[simbolo de Schläfli]] {p,q} kie

:''p'' estas kvanto de lateroj de ĉiu edro (aŭ kvanto de verticoj de ĉiu edro) kaj

|}

 

Ĉiu el la pluredroj havas [[duala pluredro|dualan pluredron]], ankaŭ kiu estas platona solido, tiel ke oni povas aranĝi la kvin pluredrojn en dualajn parojn.

 

Se pluredro havas simbolon de Schläfli {p,q}, do ĝia duala havas la simbolon {q,p}.

 

En matematiko, la koncepto de [[simetrio]] estas studata kun la nocio de [[grupo (algebro)|algebra grupo]]. Ĉiu pluredro havas asociitan [[geometria simetria grupo|geometrian simetrian grupon]], kiu estas la aro de ĉiuj transformoj ([[eŭklida izometrio|eŭklidaj izometrioj]]) kiuj lasas la pluredron [[invarianto|invariantan]]. La [[ordo (grupa teorio)|ordo]] de la geometria simetria grupo estas la kvanto de la diversaj transformoj, inkluzivante nenionfarantantransformon. Oni ofte diferencigas inter la ''plena geometria simetria grupo'', kiu inkluzivas [[reflekto (matematiko)|reflektojn]] kaj la ''pozitiva (aŭ turna) geometria simetria grupo'', kiu inkluzivas nur [[turnado (matematiko)|turnadojn]].

 

 

Estas nur tri geometriaj simetriaj grupoj asociita kun la platonaj solidoj sed ne kvin, pro tio ke la geometria simetria grupo de ĉiu pluredro koincidas kun tiu de ĝia duala. La tri pluredraj grupoj estas:

La ordoj de la pozitivaj (turnaj) grupoj, estas 12, 24 kaj 60 respektive, la ordoj estas precize dufoje pli grandaj ol kvanto de lateroj de la respektivaj pluredroj. La ordoj de la plenaj geometriaj simetriaj grupoj estas dufoje pli grandaj, 24, 48 kaj 120 respektive.

 

Estas klasika rezulto ke estas nur kvin konveksaj regulaj pluredroj. Du komunaj pruvoj estas donitaj pli sube. Ambaŭ el ĉi tiuj pruvoj nur montras ke povas esti ne pli ol 5 platonaj solidoj. Tio ke ĉiuj 5 reale ekzistas estas aparta demando.

 

Jena geometria pruvo estas tre simila al tiu donita de [[Eŭklido]] en la ''Eroj'':

** [[Kvinlatero|Kvinlateraj]] edroj: ĉiu vertico estas 108°; do la pluredro povas nur havi 3 edroj kuniĝantajn je ĉiu vertico; ĉi tiu formo estas la dekduedro.

 

Pure [[topologio|topologia]] pruvo povas esti farita uzanta nur kombina informo pri la pluredroj. La ŝlosilo estas la ekvacio pri [[eŭlera karakterizo]]

:<math>pE = 2L = qV</math> ,

: kie ''V'' estas kvanto de verticoj,

:{3, 3},{4, 3},{3, 4},{5, 3},{3,5}

 

{| class="wikitable"

!Pluredro <br> <small>(''a'' = 2)</small>

:<math>\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{1/4}\varphi^{-1/2}.</math>

 

Ĉiu platona solido havas tri samcentraj sferoj:

La [[radiuso]]j de ĉi tiuj sferoj estas [[radiuso de ĉirkaŭskribita sfero]] ''R'' , [[radiuso de mezosfero]] ρ, [[radiuso de enskribita sfero]] ''r''.

 

:<math>\rho = \left({a\over 2}\right)\frac{\cos(\pi/p)}{\sin(\pi/h)}</math>

:kie θ estas la duedra angulo.

 

Oni povas konstrui la dualan pluredron per lokigo de verticoj de la duala pluredro en centroj de edroj de la originala pluredro. La lateroj de la duala estas formataj per konektado de centroj de najbaraj edroj en la originala pluredro. Tiamaniere, kvantoj de edroj kaj verticoj estas interŝanĝitaj, kaj kvanto de lateroj restas la sama.

Pli ĝenerale, oni povas dualigi platonajn solidojn kun respekto al sfero de radiuso ''d'' samcentra kun la pluredro. La radiusoj (''R'', ρ, ''r'') de solido kaj tiuj de ĝia duala (''R^*'', ρ^*, ''r^*'') estas interrilatantaj kiel

:''d² = R^* r = r^* R = ρ^* ρ

 

La [[surfaca areo]] ''A'' de platona solido {''p'', ''q''} estas areo de regula ''p''-latero, multiplikita je la kvanto de edroj ''E'':

Inter la platonaj solidoj, ĉu la dekduedro aŭ la dudekedro aspektas kiel la plej bonaj [[proksimuma kalkulado|proksimumiĝoj]] al la [[sfero]]. La dudekedro havas la plej granda kvanton de edroj, la plej grandan duedran angulon, kaj ĝi estas la plej proksima el ĉiuj al sia [[enskribita sfero]]. La dekduedro, aliflanke, havas la plej malgrandan angulan difekton, la plej grandan vertican [[solida angulo|solidan angulon]], kaj estas la plej proksima el ĉiuj al sia [[ĉirkaŭskribita]].

 

La [[duedra angulo]] estas la ena angulo inter ĉiuj du najbaraj edroj. La duedra angulo θ de la pluredro {p,q} estas

:<math>\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.</math>

Ĉi tiu sekvas de la [[sfera krompago|sfera krompaga]] formulo por [[sfera plurlatero]] kaj tio ke la [[vertica figuro]] de la pluredro {p,q} estas regula ''q''-latero.

 

Ekzistas 4 regulaj nekonveksaj pluredroj - [[pluredroj de Keplero-Poinsot]]. Ili havas [[dudekedra simetrio|dudekedran simetrion]] kaj povas esti ricevitaj kiel [[steligo]]j de la dekduedro kaj la dudekedro.

 

La [[solido de Johnson|solidoj de Johnson]] estas konveksaj pluredroj kiuj havas regulajn edrojn sed ne estas uniformaj.

 

La tri [[regula kahelaro|regulaj]] [[kahelaro]]j de la ebeno estas proksime rilatantaj al la platonaj solidoj. Oni povas konsideri platonajn solidojn kiel regulaj kahelaroj de la [[sfero]]. Ĉi tio estas farita per projekciado de solido al samcentra sfero. La edroj projekciiĝas al regulaj [[sfera plurlatero|sferaj plurlateroj]] kiu akurate kovras la sferon.

 

Platonaj solidoj {p,q} verigas kondiĉon ''1/p + 1/q &gt; 1/2''. Regula kahelaroj de la [[eŭklida ebeno]] estas karakterizitaj per la kondiĉo ''1/p + 1/q = 1/2''. Estas tri eblecoj:

 

En simila maniero unu povas konsideri la regulajn kahelarojn de la [[hiperbola ebeno]]. Ĉi tiuj estas karakterizita la kondiĉo ''1/p + 1/q &lt; 1/2''. Estas malfinia kvanto de ĉi tiaj kahelaroj.

 

En pli altaj dimensioj ekzistas konveksaj [[regula hiperpluredro|regulaj hiperpluredroj]] (vidu en [[listo de regulaj hiperpluredroj]]).

 

En 4 dimensioj ekzistas 6 [[konveksa regula plurĉelo|konveksaj regulaj plurĉeloj]] kaj 10 [[nekonveksa regula plurĉelo|nekonveksaj regulaj plurĉeloj]].

 

 

 

 

 

[[Kategorio:Platonaj solidoj| ]]