Trigonometria funkcio: Malsamoj inter versioj

[kontrolita revizio][kontrolita revizio]
Enhavo forigita Enhavo aldonita
KuBOT (diskuto | kontribuoj)
e Forigo de la ŝablono(j) LigoElstara kaj/aŭ LigoLeginda laŭ VP:FA; kosmetikaj ŝanĝoj
e forigis nenecesajn krampojn; <math> anstataŭ kursivigo
Linio 9:
! [[Periodo]]
|-
| [[Sinuso]] || ''y = sin( θ)'' || || ''−1 ≤ y ≤ 1'' || ''2π''
|-
| [[Kosinuso]] || ''y = cos( θ)'' || || ''−1 ≤ y ≤ 1'' || ''2π''
|-
| [[Tangento]] || ''y = tan( θ)'' aŭ <br /> ''y = tg( θ)'' || ''tan( θ) = sin( θ) / cos( θ)'' || Ĉiujĉiuj reelaj ''y'' || ''π''
|-
| [[Kotangento]] || ''y = cot( θ)'' aŭ <br /> ''y = cotan( θ)'' aŭ <br /> ''y = ctg( θ)''|| ''cot( θ) = cos( θ) / sin( θ)'' || Ĉiujĉiuj reelaj ''y'' || ''π''
|-
| [[Sekanto]] || ''y = sec( θ)'' || ''sec( θ) = 1 / cos( θ)'' || ''−∞ < y ≤ −1'' aŭ ''1 ≤ y < ∞'' || ''2π''
|-
| [[Kosekanto]] || ''y = csc( θ)'' aŭ <br /> ''y = cosec( θ)'' || ''csc( θ) = 1 / sin( θ)'' || ''−∞ < y ≤ −1'' aŭ ''1 ≤ y < ∞'' || ''2π''
|}
 
{| class=wikitable
| [[Dosiero:Sine cosine plot.svg|290px]] <br /> Grafikaĵoj de ''sin( x)'' kaj ''cos( x)''
| [[Dosiero:Tan.svg|290px]] <br /> Grafikaĵo de ''tan( x)''
|}
{| class=wikitable
Linio 55:
En [[orta triangulo]], la funkcioj de angulo ''α'' egalas al rilatumoj inter longoj de la lateroj:
 
: ''<math>\sin α\alpha = (a/c)''</math>
: ''<math>\cos α\alpha = (b/c)''</math>
: ''<math>\tan α\alpha = (a/b)''</math>
: ''<math>\csc α\alpha = (c/a)''</math>
: ''<math>\sec α\alpha = (c/b)''</math>
: ''<math>\cot α\alpha = (b/a)''</math>
<br clear=all>
== Difinoj per unuobla cirklo ==
Linio 69:
 
Estu la [[unuobla cirklo]], la [[cirklo]] de radiuso unu centrita je la fonto. De la [[teoremo de Pitagoro]] la ekvacio de la unuobla cirklo estas:
: ''x<supmath>x^2</sup> + y<sup>^2</sup> = 1''</math>
 
Estu [[duonrekto]] el la fonto (0,0) kun angulo de ''θ'' kun la pozitiva duono de la ''x''-akso. La linio sekcas la unuoblan cirklo cirklon en punkto, kies ''x'' kaj ''y'' koordinatoj estas ''cos θ'' kaj ''sin θ'' respektive.
 
Por ''<math>0 <θ \theta <π \pi/2''</math>, orta triangulo povas esti konstruita per aldono de perpendikularo el la punkto ''(x, y)'' al la ''x''-akso.
La triangulo hipotenuzon de longo egala al radiuso de la cirklo, do egala al la 1. Longoj de katetoj estas ''x'' kaj ''y'', Tiel ''<math>\sin θ\theta = y/1''</math> kaj ''<math>\cos θ\theta = x/1''</math>, kio koincidas kun la difino per orta triangulo,
 
Por anguloj pli grandaj ol ''2π'' aŭ malpli grandaj ol ''-2π'', oni simple daŭre turnu la punkton ĉirkaŭ la cirklo. Do, sinuso kaj kosinuso estas [[perioda funkcio|periodaj funkcioj]] kun periodo ''2π'':
Linio 85:
La ''plej malgranda'' pozitiva [[periodo]], aŭ la ''primitivo periodo'' de la funkcio, por sinuso, kosinuso, sekanto kaj kosekanto estas plena cirklo, ''2π'' radianoj aŭ 360 gradoj; la primitivo periodo de tangento kaj aŭ kotangento estas nur duono de cirklo, kio estas ''π'' radianoj aŭ 180 gradoj.
 
Valoro de tangento ŝanĝiĝas malrapide ĉirkaŭ anguloj de ''kπ'', sed ŝanĝi rapide je anguloj proksimaj al ''<math>(k + 1/2)π''\pi</math>.
La grafikaĵo de la tangento havas vertikalajn [[asimptoto]]jn je ''θ<math>\theta = (k + 1/2)π''\pi</math>. En ĉi tiuj okazo la funkcio proksimiĝas al plus malfinio kiam ''θ'' proksimiĝas al ''<math>(k + 1/2)π''\pi</math> de maldekstro kaj la funkcio proksimiĝas al minus malfinio kiam ''θ'' proksimiĝas al ''<math>(k + 1/2)π''\pi</math> de dekstro.
<br clear=all>
 
Linio 96:
 
:<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>
 
:<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}</math>
<br clear=all>
 
=== Interrilato al eksponenta funkcio kaj kompleksaj nombroj ===
 
Linio 145:
 
Se argumento al sinuso aŭ kosinuso en radianoj estas skalita per koeficiento,
: ''<math>f(x) = \sin(kx)''</math>
do la derivaĵo estas skalita per la amplitudo:
: ''<math>f'(x) = k \cos(kx)''</math>
 
Ĉi tie, ''k'' estas konstanto kiu prezentas surĵeto inter unuoj. Se ''x'' estas en gradoj, tiam
Linio 158:
== Propraĵoj ==
 
: ''<math>\sin x = 0''</math> se kaj nur se ''<math>x = kπ''k\pi</math> por iu [[entjero]] ''k''
: ''<math>\cos x = 0''</math> se kaj nur se ''<math>x = (k + 1/2)π''\pi</math> por iu [[entjero]] ''k''
: ''<math>\tan x = 0''</math> se kaj nur se ''<math>x = kπ''k\pi</math> por iu [[entjero]] ''k''
: ''<math>\cot x = 0''</math> se kaj nur se ''<math>x = (k + 1/2)π''\pi</math> por iu [[entjero]] ''k''
 
: <math>\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) </math>
Linio 277:
La unua paŝo en komputado de trigonometriaj funkcioj estas limiga malpligrandigo - malpligrandigo de la donita angulo al "malpligrandigita angulo" en iu certas malgranda limigo de anguloj, ekzemple 0 kaj π/2, uzanta periodecon kaj simetriojn de la trigonometriaj funkcioj.
 
Fruaj komputiloj tipe komputis trigonometriajn funkciojn per [[interpolo]] inter valoroj de anticipe donitaj tabeloj de iliaj valoroj. Ĉi tiaj tabeloj estas tipe generataj per ripetita apliko de la duon-angula kaj angulo-adiciaj formuloj, startanta de sciata valoro (ekzemple ''<math>\sin(π\pi/2) = 1''</math>).
 
Modernaj komputiloj uzas diversajn teknikojn. Unu komuna maniero estas [[proksimuma kalkulada teorio|proksimuma kalkulado]] per [[polinomo]] aŭ [[racionala funkcio]] (ekzemple [[proksimuma kalkulado de Ĉebiŝev]], plej bona uniforma proksimuma kalkulado, kaj [[proksimuma kalkulado de Padé]], kaj tipe por pli bona precizeco [[serio de Taylor]] kaj [[serio de Laurent]]). Kutime la plej proksima angulo estas prenita de malgranda tabelo, kaj poste la polinomo estas uzata por komputi la korektigaĵon.