|
En [[fiziko]] kaj [[matematiko]], '''turnarotacia simetrio''' de objekto estas [[simetrio]] kiu estas [[invarianteco]] de la objekto je iu [[turno (geometrio)|turno]].
Estadas '''kontinua turnarotacia simetrio''' kaj '''diskreta turnarotacia simetrio'''.
Turnarotacia simetrio de objekto signifas ke iu certa turno ne ŝanĝas la objekton. Por donita objekto, aro de la turnoj kiuj ĝin ne ŝanĝas estas la [[geometria simetria grupo]] de la objekto, aŭ, se la objekto havas ankaŭ la aliajn simetrion, subgrupo de la geometria simetria grupo.
Leĝoj de fiziko estas [[turnarotacia invarianto]] ([[So(3)-invarianto]]) se ili ne distingas malsamajn direktojn en spaco. Laŭ [[teoremo de Noether]], mova simetrio de fizika sistemo estas ekvivalento al la [[angula movokvanto|angula movokvanta]] konservada leĝo.
== Geometrio ==
Formale, turnarotacia simetrio estas [[simetrio]] kun respektivo al iu aŭ ĉiuj [[rotacio]]j en ''m''-dimensia [[eŭklida spaco]]. Turnadojrotaciadoj estas direktaj [[izometrio]]j, do ili estas izometrioj konservantaj [[orientiĝo (matematiko)|orientiĝon]]. Pro ĉi tio [[geometria simetria grupo]] de turnarotacia simetrio estas subgrupo de ''E''<sup>+</sup>(''m'') (vidu en [[eŭklida grupo]]).
Simetrio kun respekto al ĉiuj turnadojrotaciadoj ĉirkaŭ ĉiu vertico enhavas [[mova simetrio|movan simetrion]] kun respektivo al ĉiuj movoj, kaj la geometria simetria grupo do estas la tuta ''E''<sup>+</sup>(''m''). Ĉi tio signifas ke la objektoj homogene okupas la tutan spacon, ĉi tio estas la okazo por fizikaj leĝoj.
Por simetrio kun respektivo al turnadojrotaciadoj ĉirkaŭ iu punkto oni povas preni la punkton kiel fonto (nulo) de la [[koordinatosistemo]]. Ĉij turnadojrotaciadoj ĉirkaŭ fonto de koordinatoj formas la specialan [[perpendikulara grupo|perpendikularan grupon]] So(''m'') de [[perpendikularaj matricoj]] kun amplekso de ĉiu matrico ''m''×''m'' kaj kun determinanto de ĉiu matrico 1. Por ''m''=3 ĉi tio estas la [[turnadarotaciada grupo]].
En la alia signifo de la vorto, la turnadarotaciada grupo ''de objekto'' estas la geometria simetria grupo en ''E''<sup>+</sup>(''n''), la [[eŭklida grupo]] (grupo de direktaj izometrioj); en aliaj vortoj, la komunaĵo de la plena geometria simetria grupo de la objekto kaj la grupo de direktaj izometrioj. Por [[nememspegulsimetrieco|nememspegulsimetriaj]] objektoj ĝi estas la sama kiel la plena geometria simetria grupo.
===''n''-obla turnarotacia simetrio===
'''Turnarotacia simetrio de ordo ''n''''', aŭ '''''n''-obla turnarotacia simetrio''', aŭ '''diskreta turnarotacia simetrio de ordo ''n''''', ĉirkaŭ certa punkto en [[2 dimensioj]], akso en [[3 dimensioj]], ''m-2'' dimensia [[hiperebeno]] en ''m'' dimensioj signifas ke turnadorotaciado per angulo de 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60° por n=2...6) ne ŝanĝas la figuron. "1-obla" simetrio estas ne simetrio.
La [[kristala sistemo|kristala sistema]] skribmaniero por ''n''-obla simetrio estas '''''C<sub>n</sub>''''' aŭ simple "''n''". La reala [[geometria simetria grupo]] estas precizigita per la punkto aŭ simetriakso, kaj ankaŭ la nombro ''n''. Por ĉiu punkto aŭ simetriakso speco de la abstrakta grupa estas [[cikla grupo]] Z<sub>''n''</sub> de ordo ''n''. Kvankam por la lasta ankaŭ la skribmaniero ''C''<sub>''n''</sub> estas uzita, la geometria kaj la abstrakta ''C''<sub>''n''</sub> devas esti distingitaj ĉar estas la aliaj geometriaj simetriaj grupoj kun la sama speco de abstrakta grupa, vidu en [[punktaj grupoj en tri dimensioj]].
La [[fundamenta domajno]] estas sektoro de 360°/n, se ne estas aldonaj simetrioj.
Se estas turnarotacia simetrio kun respektivo al angulo β do estas ankaŭ turnarotacia simetrio kun respektivo al angulo kiu estas la [[plej granda komuna divizoro]] de β kaj 360°. Se ĉi tiu plej granda komuna divizoro ne ekzistas do la turnarotacia simetrio estas kontinua (malfinio-obla).
Ekzemple, se estas turnarotacia simetrio kun respektivo al angulo 100°, tiam ĝi estas ankaŭ kun respektivo al angulo 20°, kiu estas la plej granda komuna divizoro de 100° kaj 360°.
===Multaj simetriaj aksoj tra la sama punkto===
Por diskreta simetrio kun multaj simetriaj aksoj tra la sama punkto, estas jenaj eblecoj:
*Aldone al ''n''-obla akso, ''n'' perpendikularo 2-oblaj aksoj: la [[duedra grupo|duedraj grupoj]] ''D''<sub>n</sub> de ordo 2''n'' (''n''≥2). Ĉi tiu estas la turnarotacia grupo de regula [[prismo]], aŭ regula [[dupiramido]]. Kvankam la sama skribmaniero estas uzata, la geometria kaj abstrakta ''D''<sub>n</sub> devas esti distingitaj ĉar estas la aliaj geometriaj simetriaj grupoj kun la sama speco de abstrakta grupa, vidu en [[punktaj grupoj en tri dimensioj]].
*4 3-oblaj kaj 3 2-oblaj aksoj: la turnarotacia grupo ''T'' de ordo 12 de regula [[kvaredro]] ([[kvaredra simetrio]]). La grupo estas [[izomorfia]] al [[alterna grupo]] ''A''<sub>4</sub>.
*3 4-oblaj, 4 3-obla, 6 2-oblaj aksoj: la turnarotacia grupo ''O'' de ordo 24 de [[kubo (geometrio)|kubo]] kaj regula [[okedro]] ([[okedra simetrio]]). La grupo estas izomorfia al [[simetria grupo]] ''S''<sub>4</sub>.
*6 5-oblaj, 10 3-oblaj, 15 2-oblaj aksoj: la turnarotacia grupo ''I'' de ordo 60 de [[dekduedro]] kaj [[dudekedro]] ([[dekduedra simetrio]]). La grupo estas izomorfia al alterna grupo ''A''<sub>5</sub>. La grupo enhavas 10 versiojn de ''D<sub>3</sub>'' kaj 6 versiojn de ''D<sub>5</sub>'' (turnajrotaciaj simetrioj similaj al tiuj de prismoj kaj kontraŭprismoj ([[prisma simetrio]])).
Ĉe la [[platona solido|platonaj solidoj]], la 2-oblaj aksoj estas tra la mezpunktoj de kontraŭaj [[latero (geometrio)|lateroj]], la kvanto de ili estas duono kvanto de la lateroj. La aliaj aksoj estas tra kontraŭaj [[vertico (geometrio)|verticoj]] kaj tra centroj de kontraŭaj [[edro]]j, kun escepto ĉe la kvaredro, kie la 3-oblaj aksoj estas ĉiu tra vertico kaj la centro de la kontraŭa edro.
===Turnarotacia simetrio kun respektivo al ĉiu angulo===
'''Turnarotacia simetrio kun respektivo al ĉiu angulo''' estas '''kontinua turnarotacia simetrio''' aŭ '''malfinio-obla turnarotacia simetrio'''.
En [[2 dimensioj]] turnarotacia simetrio kun respekto al ĉiu angulo estas [[cikla simetrio]]. La fundamenta domajno estas [[duonrekto]].
En [[3 dimensioj]] estadas '''cilindra simetrio''' kaj '''sfera simetrio'''.
Sfera simetrio estas nedependeco de la figuro de ambaŭ angulaj koordinatoj el [[sferaj koordinatoj]]. La fundamenta domajno estas la radiusa duonrekto.
En [[4 dimensioj]], kontinua aŭ diskreta turnarotacia simetrio ĉirkaŭ ebeno respektivas al respektiva 2D turnarotacia simetrio en ĉiu perpendikulara ebeno, ĉirkaŭ la punkto de komunaĵo de la du ebenoj. Figuro povas ankaŭ havi turnarotacia simetrio ĉirkaŭ du perpendikularaj ebenoj, do ĝi povas esti la [[cilindro (algebro)|cilindro]] ([[kartezia produto]]) de du turne simetriaj 2D figuroj. El ĉi tiuj du figuroj, neunu, nur unu aŭ ambaŭ povas havi kontinuajn turnajnrotaciajn simetriojn, kaj la restantaj havi diskretajn turnajnrotaciajn simetriojn. La ekzemploj estas [[ducilindro]] kaj diversaj regula [[duprismo]]j.
En 4 dimensioj povas esti ankaŭ sfera simetrio ĉirkaŭ rekto kaj [[3-sfero|3-sfera]] simetrio ĉirkaŭ punkto.
===Turnarotacia simetrio kun mova simetrio===
[[Dosiero:Wallpaper group diagram p4.png|thumb|180px|Ordigo en [[primitiva ĉelo]] de 2-obla kaj 4-obla turnajrotaciaj centroj. [[Fundamenta domajno]] estas indikita en flava.]]
2-obla turnarotacia simetrio kaj ankaŭ sola [[mova simetrio]] estas unu el la [[frisa grupo|frisaj grupoj]]. Estas du turnajrotaciaj centroj por [[primitiva ĉelo]].
[[Dosiero:Wallpaper group diagram p6.png|thumb|250px|Ordigo en primitiva ĉelo de 2-obla, 3-obla, 6-obla turnajrotaciaj centroj, sola aŭ en kombinaĵo (konsideru la 6-oblan kiel kombinaĵo de 2-obla kaj 3-obla); ĉe nur 2-obla simetrio la formo de la [[paralelogramo]] povas esti diversa. Por la okazo p6, fundamenta domajno estas indikita en flava.]]
Turnarotacia simetrio kaj ankaŭ duopa mova simetrio estas jenaj [[papertapeta grupo|papertapetaj grupoj]], kun aksoj por primitiva ĉelo:
*p2 (2222): 4 2-oblaj; turnarotacia grupo de [[paralelogramo|paralelograma]], [[ortangulo|ortangula]], kaj [[rombo|romba]] [[krado (grupo)|kradoj]].
*p3 (333): 3 3-obla; turnarotacia grupo [[regula triangula kahelaro]] kun la egallateraj trianguloj alterne kolorigitaj.
*p4 (442): 2 4-oblaj, 2 2-oblaj; turnarotacia grupo de [[kvadrato (geometrio)|kvadrata]] krado.
*p6 (632): 1 6-oblaj, 2 3-oblaj, 3 2-oblaj turnarotacia grupo de [[seslatero|seslatera]] krado.
*2-oblaj turnajrotaciaj centroj (inkluzivante la 4-oblajn kaj 6-oblajn), se ili ekzistas, formas kradon egalan al la mova krado skalita per faktoro 1/2. En la okazo de mova simetrio en unu dimensio la propraĵo veras kvankam la termino "krado" ne estas uzata.
*3-oblaj turnajrotaciaj centroj (inkluzivante la 6-oblajn), se ili ekzistas, formas seslateran kradon egalan al la mova krado skalitan per faktoro 1/√3 kaj turnitan je 30° (aŭ ekvivalente je 90°).
*4-oblaj turnajrotaciaj centroj, se ili ekzistas, formas kvadratan kradon egalan al la mova krado skalitan per faktoro 1/√2 kaj turnitan je 45°.
*6-oblaj turnajrotaciaj centroj, se ili ekzistas, formas seslateran kradon egalan al la mova krado.
3-obla turnarotacia simetrio je unu punkto kaj 2-obla je la alia (aŭ en 3D kun respektivo diversa paralelaj aksoj) implicas turnanrotacian grupon p6, kio estas duopa mova simetrio kaj 6-obla turnarotacia simetrio je iu punkto (aŭ, en 3D, paralela akso). La mova distanco por la simetrio generita per ĉi tia paro de turnajrotaciaj centroj estas 2√3 fojoj distanco inter ili.
[[Dosiero:Tile V46b.svg|thumb|[[Seslateropiramidigita triangula kahelaro]], ekzemplo de p6 (kun koloroj) kaj p6m (sen koloroj); la linioj estas reflektaj aksoj se koloroj estas ignorita. Estas enhavataj tri ortangulaj kradoj ĉiu en malsama direkto.]]
== Ekzemploj ==
[[Dosiero:Finland_road_sign_166.svg|thumb|left|3-obla turnarotacia simetrio sen aldonaj simetrioj]]
<br clear=all>
== Vidu ankaŭ ==
* [[Punktaj grupoj en tri dimensioj]]
* [[Spaca grupo]]
* [[Turnarotacia invarianto]]
* [[Lorenca simetrio]]
* [[Ŝraŭba akso]]
* [[Kristalografia limiga teoremo]]
[[Kategorio:Turnarotacia simetrio]]
[[Kategorio:Simetrio]]
[[Kategorio:Konservadaj leĝoj]]
| 