Rimana integralo: Malsamoj inter versioj

[kontrolita revizio][nekontrolita versio]
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Neniu resumo de redakto
Korektas la majusklojn. (fakte, estas eraro en la titolo, kiu estas Riamana integralo anstataux rimana integralo)
Linio 2:
 
== Difino ==
En la plej simpla versio, Rimanarimana integralo estas difina integralo de funkcio <math>f</math> sur intervalo <math>[a,b]</math>. Unue oni difinas [[Sumo de Riemann|sumon de Riemann]]. Poste oni dividas la intervalon, kreinte malgrandajn intervalojn, <math>x_0 = a < x_1 < x_2 < x_3 <\cdots < x_n = b</math>. La <math>j</math>-a intervalo <math>[x_{j-1},x_{j}]</math>, havas longon <math>\Delta x_j = (x_{j}-x_{j-1})</math>. Poste oni ankaŭ elektas punkton <math>x_j^*</math> en ĉiu intervalo. La sumo de Riemann estas<math display="block">\sum_{j=1}^n f(x_j^*) \Delta x_j.</math>Tiam la Rimanarimana integralo estas difinita kiel <math display="block"> {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^{n} {f(x_j^*)} \Delta x_j.</math>
La limeso uzata ne estas la normala limeso, ĉar oni ne havas vicon de valoroj. Pli precize oni diras ke <math>f</math> estas integralebla (en la senco de Riemann) sur <math>[a,b]</math>, kaj la integralo estas la nombro <math>I</math>, se la sekvonto veras. Por ĉiu <math>\epsilon > 0</math> ekzistas <math>\delta > 0</math>, kaj por tiu <math>\delta</math> ĉiu divido kun <math>\Delta x_j < \delta</math> for ĉiu <math>j</math> implicas<math display="block">\left| I - \sum_{j=1}^n f(x_j^*) \Delta x_j\right| < \epsilon .</math>
 
Linio 8:
 
== Neintegraleblaj funkcioj ==
Ne ĉiu funkcio estas integralebla en la senco de Riemann. Ekzemple, prenu la funkcion <math>f</math> sur <math>[0,1]</math> kie <math>f(x) = 0</math> se <math>x</math> estas [[neracionala nombro]], kaj <math>f(x) = 1</math> se <math>x</math> estas [[racionala nombro]]. Ĉi tiu funcio oni ne povas integrali per la Rimanarimana integralo, sed se oni uzas Lebeganlebegan integralon, la integralo estas 0.
 
== Rimana integralo en <math>n</math>-dimensia spaco ==