Kvocienta grupo: Malsamoj inter versioj

8 bitokojn forigis ,  antaŭ 2 jaroj
e
Ŝanĝis misuzojn de ‘izomorfia’ al ‘izomorfa’, kaj kelkajn eratetojn (ekz. statas → asertas)
e (formato de la minuso)
e (Ŝanĝis misuzojn de ‘izomorfia’ al ‘izomorfa’, kaj kelkajn eratetojn (ekz. statas → asertas))
 
En [[matematiko]], aparte [[teorio de grupoj]], '''kvocienta grupo''' estas [[grupo]] ricevata per identigo kune de eroj de pli granda grupo per [[ekvivalentrilato]].
 
Ekzemple, la [[cikla grupo]] de [[modula aritmetiko|adicio module]] ''n'' povas esti ricevita de la [[entjero]]j per identigo de eroj kiu diferenciĝas per obloj de ''n'' kaj difino de grupa strukturo, kiu operacias sur ĉiu tia klaso (sciata kiel [[kongrueca klaso]]) kiel sola ento.
 
En kvociento de grupo, la [[ekvivalentklaso]] de la [[neŭtra elemento]] estas ĉiam [[normala subgrupo]] de la originala grupo, kaj la aliaj ekvivalentklasoj estas la [[flanka klaso|flankaj klasoj]] de ĉi tiu normala subgrupo. La rezultanta kvociento estas skribata kiel ''G/N'', kie ''G'' estas la originala grupo kaj ''N'' estas la normala subgrupo.
 
Multo de la graveco de kvocientaj grupoj estas derivita de ilia rilato al [[grupa homomorfio|homomorfioj]]. La [[unua izomorfia teoremo]] statasasertas, ke la [[bildo (matematiko)|bildo]] de ĉiu grupo ''G'' sub homomorfio estas ĉiam [[grupa izomorfio|izomorfiaizomorfa]] al kvociento de ''G''. Aparte, la bildo de ''G'' sub homomorfio ''φ: G → H'' estas izomorfiaizomorfa al ''G / ker(φ),'' kie ''ker(φ)'' estas la [[kerno (algebro)|kerno]] de ''φ''.
 
Teorie, la komprenaĵo de kvocienta grupo estas [[dualeco (matematiko)|duala]] al la komprenaĵo de [[subgrupo]], ĉi tiuj estas la du manieroj de formado de pli malgranda grupo el pli granda. En [[teorio de kategorioj]], kvocientaj grupoj estas ekzemploj de [[kvocienta objekto|kvocientaj objektoj]], kiuj estas [[duala (teorio de kategorioj)|duala]]j al [[subobjekto]]j. La aliaj ekzemploj de kvocientaj objektoj estas [[kvocienta ringo]], [[kvocienta spaco (lineara algebro)]], [[kvocienta spaco (topologio)]], [[kvocienta aro]].
== Ekzemploj ==
 
* Konsideru la grupo de [[entjero]]j '''''Z''''' sub adicio kaj la subgrupon ''2'''Z''' '' konsistantan el ĉiuj paraj entjeroj. Ĉi tiu estas normala subgrupo, ĉar '''''Z''''' estas [[komuta grupo|abela]]. Estas nur du flankaj klasoj: la aro de paraj entjeroj kaj la aro de neparaj entjeroj; pro tio, la kvocienta grupo '' '''Z'''/2'''Z''' '' estas la cikla grupo kun du eroj. Ĉi tiu kvocienta grupo estas izomorfiaizomorfa kun la aro ''{0, 1}'' kun adicio module 2.
 
* Ĝeneraligo de la lasta ekzemplo. Denove konsideru la grupo de entjeroj '''''Z''''' sub adicio. Estu ''n'' iu pozitiva entjero. Konsideru la subgrupon ''n'''Z''' '' de '''''Z''''' konsistantan el ĉiuj obloj de ''n''. Denove ''n'''Z''' '' estas normala en '''''Z''''' ĉar '''''Z''''' estas abela. La flankaj klasoj estas la kolekto ''{n'''Z''',1+n'''Z''', ..., (n-2)+n'''Z''', (n-1)+n'''Z'''}''. Ekzemple por ''n=3'':
* Konsideru la multiplikan komutan grupon ''G'' de [[kompleksa nombro|kompleksaj]] [[radiko de unu|radikoj de unu]] de ordo 12, kiuj estas punktoj sur la [[trigonometria cirklo]], montritaj sur la bildo dekstre kiel kolorigitaj pilkoj kun la nombro je ĉiu punkto donanta ĝian kompleksan argumenton. Konsideru ĝian subgrupon ''N'' el la kvaraj radikoj de unu, montritan kiel ruĝaj pilkoj. Ĉi tiu normala subgrupo fendas la grupon en tri flankajn klasojn, montritajn en ruĝa, verda kaj blua. La flankaj klasoj formas grupon kun tri eroj (la produto de ruĝa ero kun blua ero estas blua, la inverso de blua ero estas verda, kaj tiel plu). Tial, la kvocienta grupo ''G/N'' estas la grupo de tri koloroj, kiu estas la cikla grupo kun tri eroj.
 
* Konsideru la grupo de [[reela nombro|reelaj nombroj]] '''''R''''' sub adicio, kaj la subgrupon '''''Z''''' de entjeroj. La flankaj klasoj de '''''Z''''' en '''''R''''' estas ĉiuj aroj de formo ''a+'''Z''' '', kun ''0 ≤ a < 1'' reela nombro. Adiciado de ĉi tiaj flankaj klasoj estas farata per adiciado de la respektivaj reelaj nombroj ''a'', kun subtrahado de 1 se la rezulto estas pli granda ol aŭ egala al 1. La kvocienta grupo '' '''R'''/'''Z''' '' estas izomorfiaizomorfa al la [[cirkla grupo]] ''S<sup>1</sup>'', la grupo de [[kompleksa nombro|kompleksaj nombroj]] de [[absoluta valoro]] 1 sub multipliko, aŭ respektive, la grupo de [[rotacio|turnadoj]] en 2D ĉirkaŭ la fonto, kio estas, la speciala [[perpendikulara grupo|perpendikulara grupa]] ''SO(2)''. Izomorfio estas donita per ''f(a+'''Z''') = exp(2πia)'' (vidu en [[eŭlera idento]]).
 
* Se ''G'' estas la grupo de inversigeblaj 3×3 reelaj [[matrico]]j, kaj ''N'' estas la subgrupo de 3×3 reelaj matricoj kun [[determinanto]] 1. Tiam ''N'' estas normala en ''G'' ĉar por ĉiu matrico ''a'', ''aN = {an : n&isin;N}'' kaj ''Na = {na : n&isin;N} = {(aa<sup>−1</sup>)na : n&isin;N} = {a(a<sup>−1</sup>na) : n&isin;N}''. La matrico ''b=a<sup>−1</sup>na'' havas determinanton 1 kaj do estas en ''N'', do ''Na = {ab : b&isin;N}'' kaj do ''Na = aN''. Alivorte, ''N'' estas normala en ''G'' ĉar ĝi estas la [[kerno (algebro)|kerno]] de la determinanta [[grupa homomorfio|homomorfio]]. La flankaj klasoj de ''N'' estas la aroj de matricoj kun donita determinanto, kaj de ĉi tie ''G/N'' estas izomorfiaizomorfa al la multiplika grupo de ne-nulaj reelaj nombroj.
 
* Konsideru la komutan grupon ''{0, 1, 2, 3}'' kun adicio [[modula aritmetiko|module]] 4 (kiu estas izomorfiaizomorfa al la '' '''Z'''<sub>4</sub> = '''Z'''/4'''Z''' ''), kaj ĝian subgrupon ''{0, 2}''. La kvocienta grupo ''{0, 1, 2, 3} / {0, 2}'' estas ''{ {0, 2}, {1, 3} }''. Ĉi tiu estas grupo kun neŭtra elemento ''{0, 2}'', kaj grupaj operacioj kiel ''{0, 2} + {1, 3} = {1, 3}''. Ambaŭ la subgrupo ''{0, 2}'' kaj la kvocienta grupo ''{ {0, 2}, {1, 3} }'' estas izomorfiajizomorfaj kun '' '''Z'''<sub>2</sub>''.
 
* Konsideru la multiplikan grupon <math>G=\mathbf{Z}^*_{n^2}</math>. La aro ''N'' de ''n''-aj restaĵoj estas multiplika subgrupo de ordo ''φ(n)'' de <math>\mathbf{Z}^*_n</math>. Tiam ''N'' estas normala en ''G'' kaj la kvocienta grupo ''G/N'' havas la flankajn klasojn ''N, (1+n)N, (1+n)<sup>2</sup>N, ..., (1+n)<sup>n-1</sup>N''. La [[ĉifrosistemo de Pallier]] estas bazita sur la [[konjekto (matematiko)|konjekto]] ke estas malfacile difini la flankan klason de hazarda ero de ''G'' sen scio de la faktorigo de ''n''.
== Propraĵoj ==
 
La kvocienta grupo ''G/G'' estas [[grupa izomorfio|izomorfiaizomorfa]] al la [[bagatela (matematiko)|bagatela grupo]] (la grupo kun unu ero), kaj ''G/{e}'' estas izomorfiaizomorfa al ''G''.
 
La [[grupa ordo|ordo]] de ''G/N'', per difino de la kvanto de eroj, estas egala al ''|G : N |'', la [[indekso de subgrupo|indekso]] de ''N'' en ''G''. Se ''G'' estas finia, la indekso estas ankaŭ egala al la ordo de ''G'' dividita per la ordo de ''N''. ''G/N'' povas esti finia se ambaŭ ''G'' kaj ''N'' estas malfiniaj (ekzemple '' '''Z'''/2'''Z''' '').
Se ''N'' estas enhavata en la [[centro (teorio de grupoj)|centro]] de ''G'', do ''G'' estas nomata kiel la [[centra vastigaĵo]] de la kvocienta grupo.
 
Se ''H'' estas subgrupo en finia grupo ''G'', kaj la ordo de ''H'' estas duono de la ordo de ''G'', tiam ''H'' estas garantiita al esti normala subgrupo, do ''G/H'' ekzistas kaj estas izomorfiaizomorfa al ''C<sub>2</sub>''. Ĉi tiu rezulto povas ankaŭ esti prezentita kiel tio ke ĉiu subgrupo de indekso 2 estas normala, kaj en ĉi tiu formo ĝi aplikas ankaŭ al malfiniaj grupoj.
 
Ĉiu finie generita grupo estas izomorfiaizomorfa al kvociento de [[libera grupo]].
 
Iam, sed ne bezone, grupo ''G'' povas esti rekonstruita de ''G/N'' kaj ''N'', kiel [[direkta produto de grupoj|direkta produto]] aŭ [[duonrekta produto]]. La problemo de difinado kiam ĉi tiu estas la okazo estas sciata kiel la [[vastigaĵa problemo]]. Ekzemplo kie ĝi estas ne ebla estas sekva. '' '''Z'''<sub>4</sub> / {0, 2}'' estas izomorfiaizomorfa al '' '''Z'''<sub>2</sub>'', kaj ''{0, 2}'' ankaŭ, sed la nura duonrekta produto estas la direkta produto, ĉar '' '''Z'''<sub>2</sub>'' havas nur la bagatelan [[aŭtomorfio]]n. Pro tio '' '''Z'''<sub>4</sub>'', kiu estas malsama de '' '''Z'''<sub>2</sub> × '''Z'''<sub>2</sub>'', ne povas esti rekonstruita.
 
== Kvocientoj de grupoj de Lie==
20

redaktoj