Stabileco de dinamika sistemo: Malsamoj inter versioj

e
lapuniva --> liapunova, kurzo ---> kurso; propraĵo ---> propreco; solvaĵoj n---> solvoj; ajgeno ---> ejgeno; pukto ---> punkto
e (Anstataŭigo de ne plu uzota Ŝablono:EL; vidu VP:DT en Marto 2017)
e (lapuniva --> liapunova, kurzo ---> kurso; propraĵo ---> propreco; solvaĵoj n---> solvoj; ajgeno ---> ejgeno; pukto ---> punkto)
En [[matematiko]] kaj [[rega teorio]], la '''[[stabileco]]''' estas propraĵopropreco, kiun povas havi [[dinamika sistemo]].
 
Se ĉiuj solvaĵoj[[solvo]]j de la dinamika sistemo kiuj komenciĝas proksime al ekvilibra punkto '' '''x'''<sub>e</sub>'' restas proksime de '' '''x'''<sub>e</sub>'' eterne, do '' '''x'''<sub>e</sub>'' estas '''lapunovaliapunova stabila'''. Pli forte, se '' '''x'''<sub>e</sub>'' estas lapunova stabila kaj ĉiuj solvaĵoj[[solvo]]j, kiuj komenciĝas proksime al '' '''x'''<sub>e</sub>'' konverĝas al '' '''x'''<sub>e</sub>'', do '' '''x'''<sub>e</sub>'' estas '''asimptote stabila'''. La okazo de '''eksponenta stabileco''' garantias minimuman kurzonkurson de [[konverĝo]], kio estas, pritakso de tio kiel rapide la solvaĵojsolvoj konverĝas.
 
La ideo de lapunovaliapunova [[stabileco]] povas esti etendita al malfinidimensiaj duktoj, kie ĝi estas sciata kiel [[struktura stabileco]], kiu koncernas la konduton de malsamaj sed apudaj solvaĵojsolvoj al [[diferenciala ekvacio|diferencialaj ekvacioj]].
 
La lapunovaliapunova stabileco estas nomita laŭ Aleksandr Miĥajloviĉ LapunovLiapunov ([[:ru:Александр Михайлович Ляпунов]]).
 
== Difino por kontinuo-tempaj sistemoj ==
 
kie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n</math> estas la sistema [[stata vektoro]];
: <math>\mathcal{D}</math> estas malfermita aro enhavanta la fonton de koordinatoj[[koordinato]]j;
: <math>f: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}^n</math> estas kontinua sur <math>\mathcal{D}</math>.
 
Supozu ke ''f'' havas ekvilibran pukton '' '''x'''<sub>e</sub>''. Sen malprofito al universaleco, oni povas alpreni ke ĝi estas je la fonto de koordinatoj. En la alia okazo oni trairu al konsidero de la nova stata vektoro '' '''u'''= '''x'''-'''x'''<sub>e</sub>''.
 
* La ekvilibra puktopunkto de la sistemo estas '''lapunovaliapunova stabila''', se, por ĉiu ''ε>0'' tie ekzistas ''δ(ε)>0'' tia ke, se ''||'''x'''(t<sub>0</sub>)||<δ'', do ''||'''x'''(t)||<ε'', por ĉiu ''t≥t<sub>0</sub>''.
* La ekvilibra puktopunkto de la sistemo estas '''asimptote stabila''' se ĝi estas lapunova stabila kaj se tie ekzistas ''δ>0'' tia ke se ''||'''x'''(t<sub>0</sub>)||<δ'', do <math>\lim_{t \rightarrow \infty}\mathbf{x}(t) = 0</math>.
* La ekvilibra puktopunkto de la sistemo estas '''eksponente stabila''' se ĝi estas asimptote stabila kaj se tie ekzistas valoroj ''α'', ''β'', ''δ'', ''α>0'', ''β>0'', ''δ>0'', tiaj ke se ''||'''x'''(t<sub>0</sub>)||<δ'', do ''||'''x'''(t)|| ≤ α||'''x'''(t<sub>0</sub>)||e<sup>-β(t-t<sub>0</sub>)</sup>'', por ''t≥t<sub>0</sub>''. Eksponenta stabileco signifas ke solvaĵoj ne nur konverĝas, sed fakte konverĝas almenaŭ same rapide kiel aparta sciata kurzo de [[eksponenta funkcio]] ''α||'''x'''(t<sub>0</sub>)||e<sup>-β(t-t<sub>0</sub>)</sup>''.
* La ekvilibra puktopunkto de la sistemo estas '''lapunovaliapunova malstabila''', se, ekzistas ''ε>0'', tia ke por ĉiu ''δ>0'' tia ke, tie ekzistas '' '''x'''<sub>0</sub>'', ''||'''x'''<sub>0</sub>||<δ'', tiaj ke se '' '''x'''(t<sub>0</sub>)='''x'''<sub>0</sub>'', do ''||'''x'''(t)||≥ε'', por iu ''t≥t<sub>0</sub>''.
 
La trajektorio '' '''x''' '' estas (loke) '''alloga''' se
: ''||'''y'''(t)-'''x'''(t)|| → 0''
 
kun ''t → ∞'' por ĉiuj trajektorioj kiuj startas sufiĉe proksime, kaj '''malloke alloga''' se ĉi tiu propraĵopropreco veras por ĉiuj trajektorioj.
 
Tio estas, se '' '''x''' '' apartenas al la eno de ĝia [[stabila dukto]]. Ĝi estas ''asimptote stabila'' se ĝi estas ambaŭ alloga kaj stabila. Estas kontraŭekzemploj montrantaj ke allogeco ne implicas asimptotan stabilecon. Ĉi tia kontraŭekzemplo povas ekzemple enhavi [[unuekvilibra orbito|unuekvilibran orbiton]].
: <math>\frac{d\mathbf{x}}{dt}=f(\mathbf{x}, t)</math>
 
do aparta nocio de '''uniforma lapunovaliapunova stabileco''' povas esti konsiderata. Tiam:
 
* La ekvilibra puktopunkto de la sistemo estas '''lapunovaliapunova stabila''', se, por ĉiu ''ε>0'' kaj ''t<sub>0</sub>>0'', tie ekzistas ''δ(ε, t<sub>0</sub>)>0'' tia ke, se ''||'''x'''(t<sub>0</sub>)||<δ'', do ''||'''x'''(t)||<ε'', por ĉiu ''t≥t<sub>0</sub>''.
* Por tio ke la ekvilibra puktopunkto de la sistemo estas '''uniforma lapunovaliapunova stabila''' la difino estas la sama kiel la antaŭa por lapunovaliapunova stabila krom tio ke ''δ'' ne dependas de ''t<sub>0</sub>'', kaj dependas de nur ''ε''. Tiel, la ekvilibra puktopunkto de la sistemo estas uniforma lapunovaliapunova stabila, se, por ĉiu ''ε>0'', tie ekzistas ''δ(ε)>0'' tia ke, se ''||'''x'''(t<sub>0</sub>)||<δ'', do ''||'''x'''(t)||<ε'', por ĉiu ''t≥t<sub>0</sub>''.
 
== Difino por diskreto-tempaj sistemoj ==
La difino por diskreto-tempaj sistemoj estas preskaŭ identa al tiu por kontinuo-tempaj sistemoj. La difino pli sube provizas ĉi tiu, uzanta alterna lingvo kutime uzita en pli matematikaj tekstoj.
 
Estu ''(X, d)'' [[metrika spaco]] kaj ''f : X → X'' estu [[kontinua funkcio]]. Punkto '' '''x''' '' en ''X'' estas '''lapunovaliapunova stabila''' se, por ĉiu ''ε>0'', estas ''δ>0'' tia ke por ĉiu '' '''y''' '' en ''X'', se ''d('''x''', '''y''') < δ'' do
 
: ''d(f<sup>n</sup>('''x'''), f<sup>n</sup>('''y''')) < ε''
: <math>\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}</math>
 
estas asimptote stabila (fakte, eksponente stabila) se ĉiuj reelaj partoj de la [[ajgenoejgeno]]j de ''A'' estas negativaj. Ĉi tiu kondiĉo estas ekvivalento al la sekva:
 
: ''A<sup>T</sup>M + MA + N = 0''
 
havas solvaĵon kie ''N = N<sup>T</sup> > 0'' kaj ''M = M<sup>T</sup> > 0'' ([[pozitive difinita matrico|pozitive difinitaj difinitaj]] matricoj). La taŭga lapunova funkcio (por la lapunovaliapunova dua teoremo pri stabileco, vidu sube) estas tiam ''V('''x''') = '''x'''<sup>T</sup>M'''x''' ''.
 
Tio ke reelaj partoj de la [[ajgeno]]j ''λ<sub>i</sub>'' de ''A'' estas negativaj signifas, ke konduto de la sistemo estas simila al estingiĝanta [[eksponenta funkcio]]
 
: ''αe<sup>-βt</sup>'' kun ''β>0'', ''β=-Re(λ<sub>i</sub>)''
: ''αe<sup>-βt</sup>sin(ωt+φ)'' kun ''β>0'', ''β=-Re(λ<sub>i</sub>)''
 
Respektive, en diskreta tempo, [[lineara sistemo]]
 
: ''x<sub>t+1</sub> = Ax<sub>t</sub>''
 
estas asimptote stabila (fakte, eksponente stabila) se ĉiu el la [[ajgenoejgeno]]j de ''A'' havas absolutan valoron pli malgrandan ol 1.
 
Ĉi tiu lasta kondiĉo havas estas ĝeneraligita por reŝaltanta sistemoj: lineara reŝaltanta diskreta tempa sistemo regata per aro de matricoj ''{A<sub>1</sub>, ..., A<sub>m</sub>}''
: <math> \frac{d \mathbf{\xi}}{dt}=A\mathbf{\xi} </math>
 
* Se reelaj partoj de ĉiuj [[ajgenoejgeno]]j de ''A'' estas negativaj do la proksimumiga lineara sistemo estas stabila kaj la ekvilibro ĉe '' '''x'''<sub>e</sub>'' estas stabila.
* Se ekzistas almenaŭ unu ajgenoejgeno de ''A'' kun pozitiva reela parto do la proksimumiga lineara sistemo estas malstabila kaj la ekvilibro ĉe '' '''x'''<sub>e</sub>'' estas malstabila.
* Se ekzistas almenaŭ unu ajgenoejgeno de ''A'' kun nula reela parto, kaj reelaj partoj de ĉiuj la aliaj ajgenojejgenoj de ''A'' estas negativaj, do per ĉi tiu maniero ne eblas konkludi ĉu '' '''x'''<sub>e</sub>'' estas stabila. En ĉi tiu okazo gravas tiu parto de la funkcio ''f'' kiu estas priskribita per la granda O en la lineara proksimumigo.
 
Ĉi tio estas la lapunovaliapunova unua teoremo pri stabileco.
 
== LapunovaLiapunova dua teoremo pri stabileco ==
 
Estu funkcio ''V('''x''') : '''R'''<sup>n</sup> → '''R''' '' tia ke
* <math>\frac{dV(\mathbf{x}(t))}{dt} \le 0</math> kun egaleco se kaj nur se '' '''x'''='''0''' '' (negative difinita).
 
Tiam ''V('''x''')'' estas nomata kiel kandidato por la [[lapunovaliapunova funkcio]] kaj la sistemo estas lapunovaliapunova asimptote stabila.
 
Noto, ke la kondiĉo ''V('''0''')=0'' estas postulata; alie ''V('''x''') = 1/(1+|'''x'''|)'' devus pruvi ke ĉiu <math>\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{x}</math> estas loke stabila.
Eblas vedebligi ĉi tiun manieron de analizo per konsiderado de fizika sistemo (ekzemple vibranta risorto kaj maso) kaj konsiderado de la [[energio]] de la sistemo. Se la sistemo perdas energion dum tempo kaj la energio estas neniam rekreata tiam eble la sistemo devas (grinci, knari, mueli) al halti kaj atingi iun finan kvietan stato. Ĉi tiu fina stato estas nomata kiel la [[altenaĵo]].
 
Tamen, trovanta de funkcio kiu priskribas la faktan energion de fizika sistemo povas esti malfacile, kaj por abstraktaj matematikaj sistemoj, ekonomiaj sistemoj aŭ biologiaj sistemoj, la koncepto de energio povas ne esti aplikebla. La konsidero estas ke stabileco povas esti pruvita sen postulado de scio de la vera fizika energio, se iu [[lapunovaliapunova funkcio]] povas troviĝi kiu kontentigas la kondiĉojn.
 
== Vidu ankaŭ ==
11 135

redaktoj