Transformo de Möbius: Malsamoj inter versioj

 

== Ĝenerala priskribo ==

La möbius-a grupo estas la [[aŭtomorfia grupo]] de la [[rimana sfero]]

:<math>\mbox{Aut}(\widehat\mathbb C).</math>

 

== Difino ==

La ĝenerala formo de transformo de Möbius estas donita per

:<math>z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d}</math>

La aro de ĉiuj Möbius-a (transformoj, transformas) (formoj, formas) [[Grupo (algebro)|grupo]] sub [[Funkcia komponaĵo|komponaĵo]]. Ĉi tiu grupo povas esti donita la strukturo de [[kompleksa dukto]] en tia vojo (tiu, ke, kiu) komponaĵo kaj inversigo estas holomorfa (mapoj, mapas). La Möbius-a grupo estas tiam komplekso (Mensogi, Kuŝi) grupo. La Möbius-a grupo estas kutime signifita <math>\mbox{Aut}(\widehat\mathbb C)</math> kiel ĝi estas la [[aŭtomorfia grupo]] de la Rimana sfero.

 

La transformo

:<math>f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}</math>

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) estas precize du matrica unuhava determinanto kiu povas kutimi prezenti (ĉiu, iu) donita Transformo de Möbius. Tio estas, _SL_(2,'''C''') estas duopa kovri de _PSL_(2,'''C'''). Ekde _SL_(2,'''C''') estas simple-koneksa ĝi estas la universala kovri de la Möbius-a grupo. La [[fundamenta grupo]] de la Möbius-a grupo estas tiam '''Z'''₂.

 

(Ĉiu, Iu) Transformo de Möbius povas esti (verkita, komponita) de la rudimenta (transformoj, transformas): _dilations_, [[Traduko|(tradukoj, tradukas, translacioj, translacias)]] kaj (renversaĵoj, renversaĵas, inversigoj, inversigas). Se ni difini linio al esti cirklo (trairanta, pasanta) tra malfinio, tiam ĝi povas esti montrita (tiu, ke, kiu) Transformo de Möbius (mapoj, mapas) cirkloj al cirkloj, per (aspektanta, rigardanta) je ĉiu rudimenta transformo.

 

La ago de la Möbius-a grupo sur la Rimana sfero estas ''akre 3-transitiva'' en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) estas unika Transformo de Möbius kiu prenas (ĉiu, iu) tri klaraj punktoj sur la Rimana sfero al (ĉiu, iu) alia aro de tri klaraj punktoj. Vidi la sekcio pli sube sur preciziganta transformo per tri punktoj.

 

Möbius-a (transformoj, transformas) estas kutime (klasifikita, klasigita) enen kvar (klavas, tipoj), '''parabola''', '''elipsa''', '''hiperbola''' kaj '''_loxodromic_''' (reale hiperbola estas speciala okazo de _loxodromic_). La klasifiko havas ambaŭ algebra kaj geometria signifeco. Geometrie, la malsama (klavas, tipoj) rezulto en malsama (transformoj, transformas) de la kompleksa ebeno, kiel la (ciferoj, ciferas, geometriaj figuroj, figuroj, figuras) pli sube ilustri. Ĉi tiuj (klavas, tipoj) povas esti (distingita, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) per (aspektanta, rigardanta) je la spuro <math>\mbox{tr}\,\mathfrak{H}=a+d</math>. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la spuro estas invarianto sub konjugo, tio estas,

 

|}

 

Ĉiu ne-identa Transformo de Möbius havas du [[Fiksa punkto (matematiko)|fiksaj punktoj]] <math>\gamma_1, \gamma_2</math> sur la Rimana sfero. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la fiksaj punktoj estas grafita ĉi tie kun [[obleco]]; por parabola (transformoj, transformas), la fiksaj punktoj koincidi. Ĉu aŭ ambaŭ de ĉi tiuj fiksaj punktoj (majo, povas) esti la punkto je malfinio.

 

Se <math>c=0</math> kaj <math>a=d</math>, tiam ambaŭ fiksaj punktoj estas je malfinio, kaj la Transformo de Möbius korespondas al pura traduko: <math>z \mapsto z + \beta</math>.

 

Möbius-a (transformoj, transformas) estas ankaŭ iam skribita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de iliaj fiksaj punktoj en (do, tiel)-(nomita, vokis) '''normala formo'''. Ni unua (trakti, kuraci) la ne-parabola (kesto, okazo), por kiu estas du klaraj fiksaj punktoj.

 

:<math>f'(\gamma) = 1.\,</math>

 

Jena bildo prezentas (post _stereographic_ transformo de la sfero al la ebeno) la du fiksaj punktoj de Transformo de Möbius en la ne-parabola (kesto, okazo):

 

 

=== Elipsa (transformoj, transformas) ===

Se <math>\rho = 0</math>, tiam la fiksaj punktoj estas neniu alloga nek forloga sed indiferenta, kaj la transformo estas dirita al esti <i>_elliptical_</i>. Ĉi tiuj (transformoj, transformas) flegi movi ĉiuj punktoj en cirkloj ĉirkaŭ la du fiksaj punktoj. Se unu de la fiksaj punktoj estas je malfinio, ĉi tiu estas ekvivalento al farante afina rotacio ĉirkaŭ punkto.

 

 

=== Hiperbola (transformoj, transformas) ===

Se <math>\alpha</math> estas nulo (aŭ multaj de <math>2 \pi</math>), tiam la transformo estas dirita al esti <i>hiperbola</i>. Ĉi tiuj (transformoj, transformas) flegi movi punktoj laŭ cirkuleraj vojoj de unu fiksa punkto al la alia.

 

 

=== _Loxodromic_ (transformoj, transformas) ===

Se ambaŭ ρ kaj α estas nenulo, tiam la transformo estas dirita al esti ''_loxodromic_''. Ĉi tiuj (transformoj, transformas) flegi movi ĉiuj punktoj en S-formis vojoj de unu fiksa punkto al la alia.

 

 

=== Stereografia projekcio ===

Ĉi tiuj bildoj montri Möbius-a (transformoj, transformas) _stereographically_ (projekciis, projektita) sur la [[Rimana sfero]]. (Tononomo, Noto, Noti) en aparta (tiu, ke, kiu) kiam (projekciis, projektita) sur sfero, la speciala okazo de fiksa punkto je malfinio (aspektas, aspektoj, rigardas) ne malsama al havanta la fiksaj punktoj en ajna loko.

 

| [[Dosiero:Mob3d-elip-inf-200.png|Image:Mob3d-elip-inf-200.png]] || [[Dosiero:Mob3d-hyp-inf-200.png|Image:Mob3d-hyp-inf-200.png]] || [[Dosiero:Mob3d-lox-inf-200.png|Image:Mob3d-lox-inf-200.png]]

|-

|-

| _rowspan_=2 | Fiksaj punktoj _diametrically_ kontraŭa

|-

|-

| _rowspan_=2 | Fiksaj punktoj en ajna loko

| [[Dosiero:Mob3d-elip-arb-200.png|Image:Mob3d-elip-arb-200.png]] || [[Dosiero:Mob3d-hyp-arb-200.png|Image:Mob3d-hyp-arb-200.png]] || [[Dosiero:Mob3d-lox-arb-200.png|Image:Mob3d-lox-arb-200.png]]

|-

 

|}

 

== Ripetanta transformo ==

Se transformo <math>\mathfrak{H}</math> havas fiksaj punktoj <math>\gamma_1, \gamma_2</math>, kaj karakteriza konstanto 'k'', tiam <math>\mathfrak{H}' = \mathfrak{H}^n</math> estos havi <math>\gamma_1' = \gamma_1, \gamma_2' = \gamma_2, k' = k^n</math>.

 

 

{| style="margin: auto;"

|-

| [[Dosiero:Mobius23623.jpeg|Image:Mobius23623.jpeg]] || [[Dosiero:Mobius23624.jpeg|Image:Mobius23624.jpeg]]

 

== Malfiniigantoj de la transformo ==

La punkto

:<math>z_\infty = - \frac{d}{c}</math>

 

== Preciziganta transformo per tri punktoj ==

=== Proksimumo per rekta maniero ===

Ĉiu aro de tri punktoj

:<math>

 

=== Eksplicita determinanta formulo ===

La problemo de konstruanta Transformo de Möbius <math> \mathfrak{H}(z) </math> (mapanta, bildigo) triopo <math> (z_1, z_2, z_3 )</math> al alia triopo <math>( w_1, w_2, w_3 )</math> estas ekvivalento al trovanta la ekvacio de norma [[hiperbolo]]

:<math>\, c wz -az+dw -b=0 </math>

 

=== Cetera maniero uzante kruci-rilatojn de kvar punktoj ===

Ĉi tiu konstruado ekspluatas la fakton (menciitan en la unua sekcio), ke la [[kruci-rilato]]

:<math>

 

== Vidu ankaŭ ==

* [[August Ferdinand Möbius]]

* Grupo de [[Lazarus Fuchs|Fuchs]]

 

* ''(Vidu ĉapitron 3 por bele ilustrita enkonduko al transformoj de Möbius inkludanta ilian klasifikon)''

 

* ''Vidi ĉapitron 2''.

 

== Eksteraj ligiloj ==

* A java-[[apleto]] permesanta precizigi transformon tra ĝiaj fiksaj punktoj kaj tiel plu povas troviĝi je [http://www.(uzantoj, uzantas)._bigpond_._com_/_pmurray_/Javo/_MoebApplet_.html].

 

 

[[Kategorio:Projekcia geometrio]]