Koŝia konverĝa provo: Malsamoj inter versioj

kun ekzemplo
e (Roboto: Forigo de 6 interlingvaj ligiloj, kiuj nun disponeblas per Vikidatumoj (d:q1051406))
(kun ekzemplo)
La '''koŝia konverĝa provo''' estas maniero por provi [[konverĝo]]n de malfinia serio. SerioĜi estas nomita laŭ [[Augustin Louis Cauchy]], kiu publikigis ĝin en sia verko Cours d'Analyse.
 
==Koŝia konverĝa provo por serioj==
Serio
 
:<math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math>
veras por ĉiuj ''n>N'' kaj <math>p\geq1</math>.
 
==Ekzemplo==
La serio <math>1 + \tfrac14 + \tfrac19 + \tfrac1{16} + \ldots</math> konverĝas, ĉar
:<math>\left| \sum_{i=n+1}^m \frac{1}{i^2} \right| < \left| \sum_{i=n+1}^m \frac{1}{i (i-1)} \right| = \left| \sum_{i=n+1}^m \left(\frac{1}{i-1} - \frac{1}{i}\right) \right| = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon</math>,
 
==Provo==
La provo laboras ĉar la serio estas konverĝa se kaj nur se la parta sumo <math>s_n:=\sum_{i=0}^n a_i</math> estas [[koŝia vico]]: por ĉiu <math>\varepsilon>0</math> estas nombro ''N'', tia ke por ĉiuj ''n,m>N'' veras <math>|s_m-s_n|<\varepsilon.</math>
Oni povas supozi ke ''m>n'' kaj tial aro ''p=m-n''. La serio estas konverĝa se kaj nur se
232

redaktoj