Aro-teorio: Malsamoj inter versioj

La bazaj konceptoj de arteorio estas [[Aro (matematiko)|aroj]] kaj membreco. [[Aro (matematiko)|Aro]] estas kolekto de objektoj, nomitaj membroj (aŭ [[elemento]]j) de la aro. La membroj povas esti ekzemple [[nombro]]j, [[funkcio]]j, aŭ aroj mem. Oni skribas la arojn per la ondkrampoj '''{''' kaj '''}'''. Do {1,2} estas aro, kaj ankaŭ {1,2,3,4,...} (la [[infinito|infinita]] aro de la [[naturaj nombroj]], nomata '''N'''), kaj eĉ {2,3,'''N'''}, do la membroj ne devas esti de la sama klaso. Ankaŭ la [[malplena aro]] {} estas konsiderata aro.

 

 

Tamen montriĝis ke, se oni aplikas ĉiujn operaciojn senlime, aperas paradoksoj kiel la [[Rusela paradokso]]. Por solvi tiujn problemojn, oni rekonstruis la arteorion uzante [[aksiomo|aksioman]] metodon.

# [[Aksiomo de malplena aro]]: Ekzistas aro sen iuj ajn membroj. Oni skribas ĝin kiel {}.

# [[Aksiomo de parigo]]: Se ''x'' kaj ''y'' estas aroj, tiam {''x'',''y''} estas aro, aro kiu havas nur ''x'' kaj ''y'' kiel siajn membrojn.

# [[Aksiomo de apartigo]]: Se ''x'' estas aro kaj P(''y'') estas predikato, tiam ekzistas [[subaro]] de ''x'' kies membroj estas precize tiuj, por kiuj P(''y'') estas vera.

# [[Aksiomo de anstataŭigo]]: Se ''x'' estas aro, kaj P(y,z) difinas [[bildigo]]n (do P(y,z) kaj P(y,w) entenas z=w) tiam ekzistas aro enhavanta precize la [[bildo (matematiko)|bildojn]] de la membroj de ''x''.

 

== Operacioj per aroj ==

 

=== Kunigo ===

 

[[Dosiero:Venn0001.svg|eta|dekstra|150px|Komunaĵo de du aroj]]

 

=== Komunigo ===

 

La kunigo kaj la komunaĵigo estas reciproke [[distribueco|distribuecaj]]. La aroj do kun tiuj du operacioj formas [[latiso]]n.