Alef-nombro: Malsamoj inter versioj

<math>\aleph_1</math> estas la kardinalo de la aro de ĉiuj kalkuleblaj [[orda numero|ordaj numeroj]], nomata kiel '' '''ω'''₁'' aŭ '''''Ω'''''. Ĉi tiu '' '''ω'''₁'' estas mem orda numero pli granda ol ĉiuj kalkuleblaj ordaj numeroj, tiel ĝi estas [[nekalkulebla aro]]. Pro tio <math>\aleph_1</math> estas malsama de <math>\aleph_0</math>. La difino de <math>\aleph_1</math> implicas (en ZF ([[aroteorio de Zermelo-Fraenkel]]) eĉ sen la [[aksiomo de elekto]] (AC)) ke neniu kardinalo estas inter <math>\aleph_0</math> kaj <math>\aleph_1</math>. Se la aksiomo de elekto estas uzata, povas esti plu pruvite ke la klaso de kardinaloj estas [[tutece ordita]], kaj tial <math>\aleph_1</math> estas la dua plej malgranda malfinia kardinalo. Uzante AC ni povas montri unuon el la plej utilaj propraĵoj de la aro '''''Ω''''': ĉiu kalkulebla subaro de '''''Ω''''' havas superan baron en '''''Ω'''''. Ĉi tio sekvas el tio ke kalkulebla uniokunigaĵo de kalkuleblaj aroj estas kalkulebla, unu el la plej komunaj aplikoj de AC. Ĉi tiu fakto estas analoga al la situacio kun <math>\aleph_0</math>: ĉiu finia aro de naturaj nombroj havas maksimumon kiu estas ankaŭ natura nombro; tio estas, finia [[kunaĵokunigaĵo]] de finiaj aroj estas finia.

'''Ω''' estas reale utila koncepto, kvankam ekzotike sonanta. Ekzempla apliko estas la fermado kun respekto al kalkuleblaj operacioj; ekzemple, provo eksplicite priskribi la [[σ-algebro]]n generitan per ajna kolekto de subaroj. Ĉi tio estas pli peza ol plej eksplicitaj priskriboj de "generacio" en algebro ([[vektora spaco|vektoraj spacoj]], [[teorio de grupoj|grupoj]], kaj tiel plu) ĉar en tiuj okazoj oni nur devas fermi kun respekto al finiaj operacioj - sumoj, produtoj, kaj la similaj. La procezo engaĝas difinadon, por ĉiu kalkulebla orda numero, tra [[transfinia indukto]], de aro per "ĵetado en" de ĉiuj eblaj kalkuleblaj kunaĵojkunigaĵoj kaj komplementoj, kaj preno de uniokunigaĵo de ĉi ĉiuj super ĉiuj el '''''Ω'''''.