Lemniskato

En geometrio, la lemniskato estas algebra ebena kurbo, kies formo similas la ciferon 8 aŭ la simbolon ∞.

La lemniskato estas la aro de punktoj P, la produto de kies distancoj al la du fokusoj F₁, F₂ egalas la kvadraton de la distancoduono inter la du fokusoj

Difino

Vastasence, leminiskato estas ajna kurbo de la formo “8” aŭ “∞”. Pli specife, la termino signifas la lemniskato de Bernoulli, kiu estas difinita jene. Supozu eŭklidan ebenon $\mathbb {R} ^{2}$ kun karteziaj koordinatoj $(x,y)$. Do, la lemniskato (de Bernoulli) estas la ĉi-suba kurbo, parametrigita de pozitiva reelo $a\in \mathbb {R} ^{+}$:

$\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon (x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})\}$

Parametre, oni povas priskribi la lemniskaton jene:

$x={\frac {a{\sqrt {2}}\cos t}{1+\sin ^{2}t}}$

$y={\frac {a{\sqrt {2}}\cos t\sin t}{1+\sin ^{2}(t)}}$

Geometria interpreto

Ĉi tiu ekvacio povas esti skribita pli geometrie. Konsideru du punktojn (la fokusojn)

$(\pm a,0)$

sur la x-akso, de distanco $a$ for de la origino. Do, la difinanta ekvacio estas ekvivalente

$((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=a^{4}$,

aŭ

${\sqrt {(x-a)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+a)^{2}+y^{2}}}=a^{2}$,

t.e. la produto de la du distancoj de $(x,y)$ al la du fokusoj egalas la kvadraton de la distancoduono inter la du fokusoj.

Historio

La lemniskato estis unue priskribita de la svisa matematikisto Jakob Bernoulli en 1694. La elipso estas priskribebla kiel la aro de punktoj, la sumo de kies distancoj al la du fokusoj estas fiksita; se oni ŝanĝas la sumon al produto, do oni difinas familion de kurboj, en kiu la lemniskato estas speciala kazo.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Lemniscate en MathWorld.