Hiperreela nombro: Malsamoj inter versioj

→‎Konstruo per ultrapotencoj: Korektis termino-uzon
[kontrolita revizio][kontrolita revizio]
(→‎Konstruo per ultrapotencoj: Korektis termino-uzon)
:<math> (a_0, a_1, a_2, \ldots) \leq (b_0, b_1, b_2, \ldots) \iff a_0 \leq b_0 \wedge a_1 \leq b_1 \wedge a_2 \leq b_2 \ldots </math>
 
sed tie ĉi ni renkontas problemon, ĉar eĉ se iuj elementoj de la unua vico estas malpli grandaj ol respondaj elementoj de la dua, estas neniu garantio, ke aliaj ne estos pli grandaj. Do, tia rilato estas nur [[partordo|partordaparta ordo]]. Por ĉirkaŭiri tiun problemon, ni devas difini precize kiuj pozicioj gravas por komparo. Ĉar la vicoj estas nefiniaj, ni ne volas ke nur finia aro de elementoj estu grava. Plej logika elekto de indica aro estas difinebla per libera [[ultrafiltro]] ''U'' sur [[naturalo]]j. Tiuj estas la ultrafiltriloj kiuj ne enhavas iujn finiajn arojn. (La [[aksiomo de elekto]] garantias ekziston de multaj tiaj ''U'' kaj fakte ne gravas, kiun ni prenu. Malavantaĝo estas, tamen, ke ultrafiltroj ne estas eksplike konstrueblaj.) Ni pensas pri ''U'' kiel pri unu el eblaj aroj de "gravaj" elementoj por komparo: ni skribas (''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ...) ≤ (''b''<sub>0</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ...) se kaj nur se la aro de naturaloj { ''n'' : ''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''b''<sub>''n''</sub> } estas en ''U''.
 
Tio ĉi estas [[Severa malforta ordo#Tuteca antaŭordigo|tuteca antaŭordigo]] kaj ĝi iĝas [[tuteca ordo]] se ni konsentas ne distingi inter vicoj ''a'' kaj ''b'' se ''a''≤''b'' kaj ''b''≤''a''. Per tiu difinaro, la ordigita korpo de hiperreeloj '''*R''' estas konstruita. De algebra vidpunkto, ''U'' ebligas difini respondan [[idealo (matematiko)|maksimuman idealon]] '''I''' de komuta ringo '''A''' kaj poste difini na '''*R''' kiel '''A'''/'''I'''. Kiel kvociento de komuta ringo per maksimuma idealo, '''*R''' estas korpo. Oni ankaŭ povas skribi tion ĉi kiel '''A'''/''U'', rekte per ultrafiltro ''U''; ambaŭ variantoj estas ekvivalentaj.