Skribate pri la geometrio tiam konata, [[Eŭklido]] postulis kelkajn bazajn faktojn por helpi ekspliki aliajnplajn matematikajn rezultojn. El tiuj postulatoj, la [[5-a postulato|kvina]] estis pri la ekzisto de rektaj linioj paralelaj:<blockquote>Kaj se unu rekto incidanta sur du rektoj faras ke la internaj anguloj de la sama flanko estu malpli larĝa ol du rektaj anguloj, la du senĉese plilongigataj rektoj troviĝos en la flanko en kie estas la anguloj kiuj estas malpli largaj ol du rektaj.<ref>[[Elementoj de Eŭklido]] (Vikipedio)</ref></blockquote>Rediris [[Proklo]], [[John Playfair|Playfair]] kaj [[Omar Ĥajam|Ĥajam]] rediris la postulaton pli simple:<blockquote>Havante linion kaj iun punkton ne sur la linio, oni povas desegni tra la punkto nur unu paralelon.<ref>''[https://www.math.tamu.edu/~dallen/m629_03a/files/parallel_axiom/parallel_axiom.htm Axioms equivalent to the parallel lines axiom]'' (angla lingvo, "Aksiomoj, kiuj egalas la paralel-aksiomon")</ref></blockquote>Dum iom da tempo, geometroj provis montri, ke rekta paraleleco estus pruvebla per la aliaj postulatoj de Eŭklido. Anstataŭe montriĝis, ke oni povas ŝanĝi la kvinan postulaton por krei utilajn spaco-modelojn kun diferencajn matematikajn rezultojn. Kelkaj matematikistoj, helpintaj malkovri neeŭklidajn geometriojn, estas [[Carl Friedrich Gauss|Gaŭso]], [[János Bolyai]] kaj [[Nikolaj Ivanoviĉ Lobaĉevskij|Nikolaj Lobaĉevskij]].<ref name=":0">''[https://math.libretexts.org/Courses/College_of_the_Canyons/Math_100%3A_Liberal_Arts_Mathematics_(Gavilan_and_Radtke)/09%3A_Selected_Topics/9.05%3A_Non-Euclidean_Geometry Non-Euclidean Geometry]'' (angla lingvo) en ''Liberal Arts Mathematics'', fare de Galivan kaj Radke.</ref>
== Sfera geometrio ==
Linio 14:
[[Dosiero:Triangles (spherical geometry).jpg|alternative=Jen sur globo iu triangulo, kies anguloj mezuriĝas 90, 90 kaj 50 gradojn.|eta|La sumo de triangulaj angul-mezuroj estas pli ol 180° en sfera surfaco.]]
La neeŭklidaj geometrioj iom similas al la Eŭklida. Ekzemple, en iu ajn el la tri, oni povas desegni [[Triangulo|triangulojn]]. Tamen multaj bone kontaj faktoj pri trianguloj kaj aliaj figuroj diferencas inter la malsamaj geometrioj. Nek [[Ortangulo|ortanguloj]] nek neegalaj [[Simileco (geometrio)|similaj trianguloj]] ekzistas en la neeŭklidajn geometriojn. La sumo de la angul-mezuroj en triangulo estas 180° en la eŭklida geometrio sed ne en la aliaj.<ref>''[http://web.mnstate.edu/peil/geometry/c2euclidnoneuclid/8euclidnoneuclid.htm Euclidean, Hyperbolic, and Elliptical Geometries]'' (angla lingvo, "Eŭklida, Hiperbola kaj Elipsa Geometrioj") el ''[http://web.mnstate.edu/peil/geometry/IndexF/indexold.htm Survey of Geometry]'', fare de [http://web.mnstate.edu/peil/ Timothy Peil].</ref>
