Triangulo de Herono: Malsamoj inter versioj

[nekontrolita versio][nekontrolita versio]
Enhavo forigita Enhavo aldonita
e Moldur movis paĝon Triangulo de Geronto al Triangulo de Herono anstataŭigante alidirektilon: ne konfuzu "Herono" kaj "Geronto" - ili estas malsamaj
e Geronto -> Herono
Linio 1:
En [[geometrio]], '''triangulo de GerontoHerono''' estas [[triangulo]] kies longoj de ĉiuj [[latero (geometrio)|lateroj]] kaj [[areo (matematiko)|areo]] estas [[racionala nombro|racionalaj nombroj]]. Ĝi estas nomita pro [[Herono|Geronto de Aleksandrio]].
 
Ĉiu triangulo kies longoj de lateroj estas [[pitagora triopo]] estas triangulo de GerontoHerono, kiel longoj de lateroj de ĉi tia triangulo estas [[entjero]]j, kaj ĝia areo estas entjero ĉar ĝi estas duono de produto de longoj de la [[kateto]]j, almenaŭ unu kies estas para.
 
[[Dosiero:Triangle-heronian.svg|thumb|right|Triangulo kun longoj de lateroj ''c'', ''e'' kaj ''b+d'', kaj alto ''a''.]]
Por konstrui triangulon de GerontoHerono kiu estas ne estas orta oni prenas [[pitagora triopo|pitagorajn triopojn]] ''(a, b, c)'', kie ''c'' estas longo de la [[hipotenuzo]], la plej granda, kaj ''(a, d, e)'', kie ''e'' estas longo de la hipotenuzo. PostuPoste oni konstruas la triangulojn kun ĉi tiuj longoj de lateroj, kaj kunigi ilin kune laŭ la lateroj de longo ''a'', por ricevi triangulon kun entjeraj longoj de lateroj ''c'', ''e'', kaj ''b + d'' kaj kun racionala areo
 
:<math>A=\frac{1}{2}(b+d)a</math> (duono de produto de longoj de la bazo kaj la alto).
 
Ekzemplo de triangulo de GerontoHerono kiu estas ne orta estas tiu kun longoj de lateroj 5, 5 kaj 6, kies areo estas 12. Ĉi tiu triangulo estas ricevita per kunigo de du kopioj de orta triangulo kun longoj de lateroj 3, 4, kaj 5 laŭ la lateroj de longo 4. Do, ĉi tie estas ''a=4, b=3, c=5, d=3, e=5''.
 
Ne ĉi triangulo de GerontoHerono povas esti ricevita per ĉi tia maniero. Sed ĉiu triangulo de GerontoHerono povas esti kontruita per konstruo de certa la alia triangulo de GerontoHerono per ĉi tia maniero kaj posta skaligo kun racionala skalo.
: Ekzemple triangulo kun longoj de lateroj 1/2, 1/2, 3/5 kaj areo 3/25 estas triangulo (5, 5, 6) skalita je skalo 1/10, do 10 foje malpligrandigita.
: Ankaŭ triangulo kun longoj de lateroj 5, 29, 30 kaj areo 72 ne povas esti tiel malkomponigita, ĉar neniu el ĝiaj [[alto (triangulo)|altoj]] estas entjera. Tamen ĝia 5 foje pli granda analogo, kun longoj de lateroj 25, 145, 150 kaj areo 1800 havas alton de longo 24 al la latero de longo 150, kaj por ĝi ''a=24, b=143, c=145, d=7, e=25''. Do la fonta triangulo povas esti ricevita per skaligo je 1/5.
 
Se oni permesas por pitagoraj triopoj havi racionalajn ne nepre entjerajn elementojn, tiam ĉiu triangulo de GerontoHerono povas esti ricevita per ĉi tia maniero
 
==Teoremo==
 
Por ĉiu donita triangulo de GerontoHerono, oniuoni disdividdisdividu ĝin en du ortajn triangulojtriangulojn, kies longoj de lateroj formas pitagorajn triopojn kun racionalaj elementoj.
 
===Pruvo de la teoremo===
 
Konsideru denove la ilustraĵon dekstre, kie komence estas sciate ke ''c'', ''e'', ''b+d'', kaj la triangula areo ''A'' estas racionalaj. Oni povas alprenisupozi ke la skribmaniero estis elektita tiel ke la longo de latero ''b+d'' estas la plej granda, do la alto al ĉi tiu latero de la kontraŭa vertico falas ene de ĉi tiu segmento. Por montri ke la triopoj ''(a, b, c)'' kaj ''(a, d, e)'' estas pitagoraj, oniuoni devas pruvi ke ''a'', ''b'', kaj ''d'' estas racionalaj.
 
Pro tio ke la triangula areo estas
Linio 34:
kaj
:<math>a^2+d^2=e^2</math> .
Unu povas subtrahi ĉi tiujn dundu, kaj do
:<math>b^2-d^2=c^2-e^2</math> ,