Kurba integralo: Malsamoj inter versioj
| [nekontrolita versio] | [nekontrolita versio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Neniu resumo de redakto |
Oryanw (diskuto | kontribuoj) refer->signif; parte prilaboris |
||
Linio 1:
{{polurinda movu|Voja integralo}}
:''Ĉi tiu artikolo
En [[matematiko]], '''voja integralo''' (ankaŭ sciata kiel '''linia integralo''') estas [[integralo]] kie la [[Funkcio (matematiko)|funkcio]]
== Kompleksa analitiko ==
La voja integralo estas fundamenta ilo en [[kompleksa analitiko]].
:<math>\int_\gamma f(z)\,dz</math>
:<math>\sum_{1 \le k \le n} f(\gamma(t_k)) ( \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ).</math>
La integralo estas tiam la [[Limeso|limigo]] de
Se γ estas kontinue diferencialebla kurbo, la voja integralo povas esti
:<math>\int_\gamma f(z)\,dz
=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,dt.</math>
Kiam γ estas
:<math>\oint_\gamma f(z)\,dz</math>
Linio 26 ⟶ 27:
estas ofte uzita por la voja integralo de ''f'' laŭ γ.
Pro la _residue_ teoremo,
=== Ekzemplo ===
Konsideri la funkcio ''f''(''z'')=1/''z'', kaj
:<math>\oint_C f(z)\,dz = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,dt</math>
:<math>=i\int_0^{2\pi}\,dt = i(2\pi-0)=2\pi i</math>
kiu povas esti ankaŭ
== Vektora kalkulo ==
En
=== Difino ===
Por iu [[skalara kampo]] ''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''', la vojo (aŭ linio) integralo sur kurbo ''C'', parametrigita kiel '''''r'''''(''t'') kun ''t'' ∈ [a, b], estas difinita per
Linio 59 ⟶ 62:
:<math>\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)</math>
kiu
:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).</math>
En
Por ĉi tiu kaŭzo, vektora kampo kiu estas la gradiento de skalara kampo estas
=== Aplikoj ===
La voja integralo havas multaj uzas en fiziko. Ekzemple, la laboro farita sur partiklo vojaĝanta sur kurbo ''C'' ene forta kampo
===Interrilato kun la voja integralo en kompleksa analitiko===
Vidantaj kompleksaj nombroj kiel 2D (vektoroj, vektoras), la voja integralo en 2D de vektora kampo korespondas al la reela parto de la voja integralo de la konjugita de la (korespondanta, respektiva) kompleksa funkcio de komplekso (variablo, varianta).▼
▲Vidantaj kompleksaj nombroj kiel 2D
Pro al la [[Koŝio-Rimanaj ekvacioj]] la [[kirlo]] de la vektora kampo (korespondanta, respektiva) al la konjugita de holomorfa funkcio estas nulo. Ĉi tiu (rilatas, rakontas) tra Hejtas teoremo ambaŭ (klavas, tipoj) de voja integralo estante nulo.▼
▲Pro al la [[Koŝio-Rimanaj ekvacioj]] la [[kirlo]] de la vektora kampo (korespondanta, respektiva) al la konjugita de holomorfa funkcio estas nulo.
== Kvantummekaniko ==
La "voja integrala formulaĵo" de [[Kvantuma mekaniko|kvantummekaniko]] reale
== Vidi ankaŭ ==
* [[Manieroj de kontura integralado]]
* Teoremo de Nachbin
* [[Surfaca integralo]]
* [[Volumena integralo]]
* [[
* [[Funkcionala integralado]]
==
* [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Complex_Variables#Complex_Integrals Solvis
[[Kategorio:Kompleksa analitiko]]
| |||