Kurba integralo: Malsamoj inter versioj

448 bitokojn forigis ,  antaŭ 15 jaroj
refer->signif; parte prilaboris
[nekontrolita versio][nekontrolita versio]
Neniu resumo de redakto
 
(refer->signif; parte prilaboris)
{{polurinda movu|Voja integralo}}
:''Ĉi tiu artikolo estastemas pri "vojaj integraloj" en la ĝenerala matematika (senso, senco), kaj ne pri la voja integrala formulaĵo de fiziko kiu estis studita perde [[Richard Feynman]].''
 
En [[matematiko]], '''voja integralo''' (ankaŭ sciata kiel '''linia integralo''') estas [[integralo]] kie la [[Funkcio (matematiko)|funkcio]] al esti integralitaintegralota estas (komputita, pritaksita) laŭ vojo aŭ [[kurbo]]. Diversaj malsamaj vojaj integraloj estas en uziuzataj. Ĉe fermita voja ĝi estas ankaŭ (nomita, vokis) ''kontura integralo''.
 
== Kompleksa analitiko ==
 
La voja integralo estas fundamenta ilo en [[kompleksa analitiko]]. SupoziSupozu, ke ''U'' estas (malfermi, malfermita) subaro de [[Kompleksa nombro|'''C''']], γ : [''a'', ''b''] → ''U'' estas [[rektifebla kurbo]] kaj ''f'' : ''U'' → '''C''' estas funkcio. Tiam la voja integralo
 
:<math>\int_\gamma f(z)\,dz</math>
 
(majo, povas) esti difinita per subdividantasubdividado de la [[Intervalo (matematiko)|intervalo]] [''a'', ''b''] enenen ''a'' = ''t''<sub>0</sub> < ''t''<sub>1</sub> < ... < ''t''<sub>''n''</sub> = ''b'' kaj konsideranta la esprimo
 
:<math>\sum_{1 \le k \le n} f(\gamma(t_k)) ( \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ).</math>
 
La integralo estas tiam la [[Limeso|limigo]] de ĉi tiu (sumo, sumi), kielĉar la (longoj, longas) de la subdividosubdividaj (intervaloj, intervalas) (maniero, proksimiĝi,proksimiĝas proksimiĝo)al nulo.
 
Se &gamma; estas kontinue diferencialebla kurbo, la voja integralo povas esti (komputita, pritaksita) kiel integralo de funkcio de (reala, reela) (variablo, varianta):
 
:<math>\int_\gamma f(z)\,dz
=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,dt.</math>
 
Kiam &gamma; estas (fermita, fermis) kurbo, tio estas, ĝia komenca kaj finajfina punktoj koincidikoincidas, la (notacio, skribmaniero)
 
:<math>\oint_\gamma f(z)\,dz</math>
estas ofte uzita por la voja integralo de ''f'' laŭ &gamma;.
 
GravaGravaj (propozicioj, frazoj, ordonoj) pri vojaj integraloj estas la [[Koŝia integrala teoremo]] kaj [[Koŝia integrala formulo]].
 
Pro la _residue_ teoremo, unuoni povas ofte uzi konturajkonturajn integralojintegralojn en la kompleksa ebeno alpor trovi integralojintegralojn de (reala, reela)reel-valoraj funkcioj de (reala, reela) (variablo, varianta) (vidividu _residue_ teoremo por ekzemplo).
 
=== Ekzemplo ===
 
Konsideri la funkcio ''f''(''z'')=1/''z'', kaj estulasu, ke la konturo ''C'' estiestu la unuobla cirklo pri 0, kiu povas esti parametrigita per ''e''<sup>mi''t''</sup>, kun ''t'' en [0, 2&pi;]. AnstataŭigantaAnstataŭigante, ni trovitrovas
:<math>\oint_C f(z)\,dz = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,dt</math>
:<math>=i\int_0^{2\pi}\,dt = i(2\pi-0)=2\pi i</math>
kiu povas esti ankaŭ kontroliskontrolita per la Koŝia integrala formulo.
 
== Vektora kalkulo ==
 
En kvaltecakvaltecaj (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas), voja integralo en vektora kalkulo povas esti penso de kiel mezuri de la efiki de donita [[vektora kampo]] laŭ donita kurbo.
 
=== Difino ===
 
Por iu [[skalara kampo]] ''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''R''', la vojo (aŭ linio) integralo sur kurbo ''C'', parametrigita kiel '''''r'''''(''t'') kun ''t'' &isin; [a, b], estas difinita per
 
:<math>\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)</math>
 
kiu okazas al estiestas la integralato por la voja integralo de '''F''' sur '''r'''(''t''). Ĝi sekvas (tiuSekvas, ke, kiu), donita vojo ''C '', tiam
 
:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).</math>
 
En (vortoj, vortas), la integralo de '''F''' super ''C'' dependas nure surde la (valoroj, valoras) de la punktoj '''r'''(''b'') kaj '''r'''(''a'') kaj estas tial sendependa de la vojo inter ilin.
 
Por ĉi tiu kaŭzo, vektora kampo kiu estas la gradiento de skalara kampo estas (nomita, vokis) ''vojo sendependa''.
 
=== Aplikoj ===
 
La voja integralo havas multaj uzas en fiziko. Ekzemple, la laboro farita sur partiklo vojaĝanta sur kurbo ''C'' ene forta kampo (prezentita, prezentis) kiel vektora kampo '''F''' estas la voja integralo de '''F''' sur ''C''.
 
===Interrilato kun la voja integralo en kompleksa analitiko===
Vidantaj kompleksaj nombroj kiel 2D (vektoroj, vektoras), la voja integralo en 2D de vektora kampo korespondas al la reela parto de la voja integralo de la konjugita de la (korespondanta, respektiva) kompleksa funkcio de komplekso (variablo, varianta).
 
Vidantaj kompleksaj nombroj kiel 2D (-vektoroj, vektoras), la voja integralo en 2D de vektora kampo korespondas al la reela parto de la voja integralo de la konjugita de la (korespondanta, respektiva) kompleksa funkcio de kompleksokompleksa (variablo, varianta).
Pro al la [[Koŝio-Rimanaj ekvacioj]] la [[kirlo]] de la vektora kampo (korespondanta, respektiva) al la konjugita de holomorfa funkcio estas nulo. Ĉi tiu (rilatas, rakontas) tra Hejtas teoremo ambaŭ (klavas, tipoj) de voja integralo estante nulo.
 
Pro al la [[Koŝio-Rimanaj ekvacioj]] la [[kirlo]] de la vektora kampo (korespondanta, respektiva) al la konjugita de holomorfa funkcio estas nulo. Ĉi tiuTio (rilatas, rakontas) traper Hejtas teoremo ambaŭ (klavas, tipoj) de voja integralo estanteestas nulo.
 
== Kvantummekaniko ==
 
La "voja integrala formulaĵo" de [[Kvantuma mekaniko|kvantummekaniko]] reale (ligas, referas)signifas ne alvojajn vojaj integralojintegralojn en ĉi tiu (sensosenco, senco) sed al [[Funkcionala integralado|(funkcionalofunkcionala, funkcia)jn integralojintegralojn]], tio estas, integraloj super spaco de vojoj, de funkcio <_em_em>de</_em_em> ebla vojo. Tamen, vojaj integraloj en la (senso, senco) de ĉi tiu artikolo estas grava en kvantummekaniko; ekzemple, kompleksa kontura integralado estas ofte uzitauzata endum (komputanta,oni pritaksanta)komputas [[probablo]] (argumentoj, argumentas, polusaj anguloj, amplitudoj, amplitudas)n en kvantumo (verŝado, verŝanta) teorio.
 
== Vidi ankaŭ ==
* [[Manieroj de kontura integralado]]
* Teoremo de Nachbin
* _Nachbin_'s teoremo
* [[Surfaca integralo]]
* [[Volumena integralo]]
* [[Hejtas'Teoremo teoremode Hejtas]]
* [[Funkcionala integralado]]
 
==Ekstera (Eksteraj ligoj, ligas)==
 
* [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Complex_Variables#Complex_Integrals Solvis (problemoj,problemojn problemas) surpri vojaj integraloj]
 
[[Kategorio:Kompleksa analitiko]]
3 864

redaktoj