Aritmetika vico

En matematiko, aritmetika vico aŭ aritmetika progresio estas unu el specoj de progresio. Aritmetika vico estas vico de nombroj tia ke la diferenco de ĉiuj du najbaraj membroj de la vico estas konstanto. Ekzemple, la vico 3, 5, 7, 9, 11, ... estas aritmetika vico kun komuna diferenco 2.

Se la komenca membro de aritmetika vico estas $a_{1}$ kaj la komuna diferenco de najbaraj membroj estas d, do la n-a membro, de la vico estas:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d.$

Sumo de aritmetika serio

Sumo de malfinia aritmetika vico se a₁ ne egalas al 0 aŭ d ne egalas al 0 estas malfinio.

La sumo de komponantoj de aritmetika vico estas nomata kiel aritmetika serio. La formulo por sumo de la unuaj n membroj de aritmetika vico estas:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.$

Konsideru vicon tiel ke la ĝenerala termo de la aritmetika progreso estas a_n = 5n, kie n estas malpara entjero. La sumo de ĉiuj termoj, kaj la sumo de termoj simetriaj rilate al la meza, egalas al la duoblo de la meztermo.

Ĉi tiu formulo sekvas el la fakto ke sumo de la unua kaj la lasta membro estas la sama kiel sumo de la dua kaj la antaŭlasta, kaj tiel plu. Oni ofte diras ke ĉi tiu formulo estis esplorita de Carl Friedrich Gauss kiam lia instruisto de la tria jaro de mezlernejo petis la klason trovi sumon de la unua 100 naturaj nombroj, kaj li tuj kalkulis la respondon 5050.

Produto

La produto de komponantoj de aritmetika vico kun komenca ero $a_{1}$, komuna distanco $d$, kaj $n$ eroj entute, estas:

$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},$

kie $x^{\overline {n}}$ estas la pligrandiĝanta faktorialo kaj $\Gamma$ estas la Γ funkcio. Noto ke la formulo estas ne valida se $a_{1}/d$ estas negativa entjero aŭ nulo.

Ĉi tio estas ĝeneraligo de tio ke produkto de la progresio $1\times 2\times \ldots \times n$ estas donita per la faktorialo $n!$ kaj ke produto

$m\times (m+1)\times \ldots \times (n-1)\times n\,\!$

por pozitivaj entjeroj $m$ kaj $n$ estas

${\frac {n!}{(m-1)!}}$.

Vidu ankaŭ

• Adicio
• Geometria vico
• Ĝeneraligita aritmetika vico
• Primoj en aritmetika vico
• Carl Friedrich Gauss