Distribucio

En analitiko, distribucio estas objekto simila al funkcio sed eble kun neordinaraj punktoj — ekzemple, la delta distribucio $\delta (x)$. Teknike, distribucio estas kontinua lineara funkcionalo sur ia spaco de "bonaj" funkcioj (por la preciza difino de "boneco", vidu sube). La teorio de distribucioj estas lineara en senco ke oni povas fari linearan operaciojn je distribuoj (ekz., adicion, derivon, konverton de Fourier, k.t.p.), sed oni ne povas, ĝenerale, fari nelinearajn operaciojn (ekz., multiplikon).

Difino

Konsideru malfermitan subspacon $U\subset \mathbb {R} ^{n}$. Testa funkcio $\phi \colon U\to \mathbb {R}$ estas funkcio

• kompakte apogata, k.e., ekzistas kompakta subspaco $K\subset U$ tia ke $\phi (x)=0$ se $x\not \in K$;
• kaj senfine derivebla, k.e., $\partial _{\alpha }\phi$ ekzistas por ĉiu multindekso $\alpha$.

Difinu topologion sur la vektora spaco ${\mathcal {D}}(U)$ de testaj funkcioj sur $U$ jene: se $\phi _{k},\phi \in {\mathcal {D}}(U)$ ($k=0,1,2,\dots$), do $\phi _{k}\to \phi$ se kaj nur se

• ekzistas kompakta subspaco $K$ tia ke $\phi _{k}(x)=0$ por ĉiu $k$ se $x\not \in K$;
• kaj $\lim _{k\to \infty }\sup _{x\in U}\partial _{\alpha }(\phi _{k}(x)-\phi (x))=0$ por ĉiu multindekso $\alpha$ (k.e., $\partial _{\alpha }\phi _{k}\to \partial _{\alpha }\phi$ uniforme).

Distribucio sur $U$ estas kontinua (laŭ supra topologio) lineara funkcionalo $S\colon {\mathcal {D}}(U)\to \mathbb {R}$. En aliaj vortoj, la spaco ${\mathcal {D}}'(U)$ de distribucioj estas la topologia dualo de ${\mathcal {D}}(U)$ (laŭ supra topologio).

Funkcioj kiel distribucioj

Funkcio $f\colon U\to \mathbb {R}$ estas loke integralebla se kaj nur se ĝi estas integralebla (laŭ Lebesgue) sur ĉiu kompakta subspaco $K\subset U$. Difinu ĵeton $f\mapsto T_{f}$ el spaco de loke integraleblaj funkcioj al spaco de distribucioj tian ke

$T_{f}(\phi )=\int _{U}f\phi$.

Tiu ĉi ĵeto estas bijekcio escepte ke $T_{f}=T_{g}$ se kaj nur se $f$ kaj $g$ koincidas escepte sur nulmezura aro. Tial, normale oni skribas kvazaŭ loke integralebla funkcio estus distribucio.

La derivaĵo de distribucio

Se $\alpha$ estas multindekso, difinu derivaĵon $\partial _{\alpha }S$ de distribucio $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ (laŭ poparta integralado) kiel

$\partial _{\alpha }S(\phi )=(-)^{|\alpha |}S(\partial _{\alpha }\phi )$.

Se la distribucio estas funkcio (laŭ supra ĵeto inter funkcioj kaj distribucioj), la derivaĵo kiel distribucio koincidas kun la derivaĵo kiel funkcio.

Multipliko

Oni povas difinu multiplikon inter distribucio kaj senfine derivebla funkcio (sed, ĝenerale, ne inter du distribucioj). Difinu la produton $fS$ de distribucio $S$ kaj senfine derivebla funkcio $f$ tian ke

$fS(\phi )=S(f\phi )$.

Bontemperamentaj distribucioj

Oni ne povas difini konverton de Fourier de ĉia distribucio. Tamen, oni povas difini subaron de specialaj distribucioj — la bontemperamentaj (angle tempered) distribucioj — sur kiu oni povas difini konverton de Fourier.

Konsideru eŭklidan spacon $\mathbb {R} ^{n}$. Funkcio de Schwartz estas funkcio $\phi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ tia ke

$p_{\alpha ,\beta }(\phi )=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|<\infty$

pro ĉia multindekso $\alpha$ kaj $\beta$. Oni povas pruvi ke konvertaĵo de Fourier de funkcio de Schwartz estas alia funkcio de Schwarz.

Difinu topologion sur spaco ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ de funkcioj de Schwarz tian ke $\phi _{k}\to \phi$ se kaj nur se:

$\lim _{k\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi -\phi _{k})=0$ pro ĉia multindekso $\alpha$ kaj $\beta$.

Bontemperamenta distribucio estas kontinua lineara funkcionalo ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R}$ (laŭ supra topologio). En aliaj vortoj, la spaco ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ de bontemperamentaj distribucioj estas la topologia dualo de ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$.

La spaco ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ estas subspaco de ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$, ĉar ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ estas subaro de ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ kaj konverĝeco laŭ ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ estas pli forta ol konverĝeco laŭ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$. Oni povas pruvi ke la derivaĵo de bontemperamenta distribucio estas alia bontemperamenta distribucio.

Difinu la konvertaĵon de Fourier ${\hat {S}}$ de bontemperamenta distribucio $S\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ kiel jenon:

${\hat {S}}(\phi )=S({\hat {\phi }})$.

La konvertaĵo de Fourier de bontemperamenta distribucio estas alia bontemperamenta distribucio. Oni povas pruvi ke

${\widehat {\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}}=\mathrm {i} x^{k}{\hat {S}}$.

La ondfronta aro kaj multipliko de distribucioj

Ĝenerale oni ne povas difini produtojn de arbitraj distribucioj. Tamen, oni povas uzi la koncepton de ondfronta aro difini produtojn de distribucioj kiuj verigas kelkajn kondiĉojn.

Se $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ estas senfine derivebla funkcio, difinu la aron $\Sigma (f)$ kiel la aron de punktoj $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ tiaj ke ${\hat {f}}(\lambda \mathbf {x} )$ ne kreskas malrapide kiel funkcio de $\lambda \in \mathbb {R} ^{+}$.

Oni povas pruvi ke la konvertaĵo de Fourier de kompakte apogata distribucio estas senfine derivebla funkcio. La ondfronta aro (angle wavefront set) $\operatorname {WF} (S)$ de distribucio $S$ estas la aro $\{(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )\}$ de punktoj $\mathbf {x} ,\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}$ tiaj ke $\mathbf {p} \in \Sigma ({\widehat {\phi S}})$ por ĉiu testa funkcio $\phi$ kun $\phi (x)\neq 0$.

Konsideru distribuciojn $S$ kaj $T$. Se ne ekzistas $(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )\in \operatorname {WF} (S)$ tia ke $(\mathbf {x} ,-\mathbf {p} )\in \operatorname {WF} (T)$, do la "neordinaraĵoj" de la du distribucioj ne koincidas (en ia senco), kaj oni povas unike difini la produton $ST$.

Referencoj

• Benedetto, J.J. (1997), Harmonic Analysis and Applications, CRC Press .
• Gel'fand, I.M.; Shilov, G.E. (1966–1968), Generalized functions, 1–5, Academic Press .
• Hörmander, L. (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., 256, Springer, (ISBN 3-540-12104-8) .
• Kleinert, H.; Chervyakov, A. (2001), "Rules for integrals over products of distributions from coordinate independence of path integrals", Europ. Phys. J. C 19 (4): 743–747, doi:10.1007/s100520100600, http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_re303/wardepl.pdf .
• Kleinert, H.; Chervyakov, A. (2000), "Coordinate Independence of Quantum-Mechanical Path Integrals", Phys. Lett. A 269: 63, doi:10.1016/S0375-9601(00)00475-8, http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/305/klch2.pdf .
• Rudin, W. (1991), Functional Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill, (ISBN 0-07-054236-8) .
• Schwartz, L. (1954), "Sur l'impossibilité de la multiplications des distributions", C.R.Acad. Sci. Paris 239: 847–848 .
• Schwartz, L. (1950–1951), Théorie des distributions, 1–2, Hermann .
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, (ISBN 0-691-08078-X) .
• Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, (ISBN 0849382734) .
• Trèves, François (1967), Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, pp. 126 ff .