Gaŭsa leĝo

Tiu artikolo temas pri la "gaŭsa leĝo", kaj rilatas al la elektra kampo. Analoga leĝo rilatas al la magneta kampo, laŭ la "leĝo de konservita flukso", alienomita "gaŭsa leĝo pri magnetismo". Analoga leĝo rilatas al gravita kampo, laŭ la "gaŭsa leĝo pri gravito". La ĝenerala teoremo rilatanta tiujn leĝojn estas la teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso.

En fiziko, la gaŭsa leĝo, aŭ leĝo de Gauss, estas leĝo rilatanta al la distribuo de elektraj ŝargoj, kiuj kaŭzas elektran kampon. La gaŭsa leĝo esprimiĝas tiel:

La elektra flukso tra fermita surfaco estas proporcia al la tuta enfermita elektra ŝargo.

Ĝi estis formulita de Carl Friedrich Gauss en 1835, sed ne eldonita ĝis 1867, t.e. post lia morto .

Ĝi estas integrala formo de unu el la kvar ekvacioj de Maxwell nomita ekvacio de Maxwell-Gauss, kaj estas fundamento de klasika elektromagnetismo.

En vakuo, por fermita gaŭsa surfaco S, la elektra flukso estas donita per sekvanta surfaca integralo:

$\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\vec {\mathbf {E} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}={\frac {Q(V)}{\varepsilon _{0}}}\;;$

kie

• Q(V) estas la tuta elektra ŝargo (inkluzivanta ambaŭ liberajn ŝargojn kaj barajn ŝargojn) en la volumeno V limigita de la surfaco S,
• ε₀ estas la permitiveco de vakuo.

Diversaj formoj de ŝargoj

Oni povas konsideri diversajn kazojn de elektraj ŝargoj ĉirkaŭigitaj de surfaco S.

• Kiam la surfaco ĉirkaŭas plurajn punktajn ŝargoj, tiam la totala ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:

$Q(V)=\sum q_{i}$

kie $q_{i}$ estas la elektra ŝargo de punkto i,

• Kiam la surfaco ĉirkaŭas linian ŝargon kun lineara ŝarga denseco $k$, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:

$Q(V)=\int k\mathrm {d} l$

,

• Kiam la surfaco ĉirkaŭas enen surfacan ŝargon kun surfaca ŝarga denseco $j$, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:

$Q(V)=\iint _{S}j\mathrm {d} s$

• Kiam la surfaco ĉirkaŭas volumenan ŝargon kun volumena ŝarga denseco $\mathbf {\rho }$,

$\mathbf {\rho } =\mathbf {\rho _{l}} +\mathbf {\rho _{b}}$

kie $\mathbf {\rho _{l}}$ estas ŝarga denseco de liberaj ŝargoj, kaj $\mathbf {\rho _{b}}$ estas ŝarga denseco de baraj ŝargoj en la medio, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:

$Q(V)=\iiint _{V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\;\;\;\;\;\subset \!\supset \;\rho \;\mathrm {d} V$

Demonstro de kulomba leĝo

La gaŭsa leĝo uzitiĝas por dedukti la kulomban leĝon, kaj reciproke.

Elektra fluo de punkta ŝargo ene de sfero.

Konsideru sferon de radiuso r kun punkta elektra ŝargo q₁ (pozitiva aŭ negativa) lokata en ĝia centro, kiel indikita sur la desegno. La elektra kampo ${\vec {E}}$ estas paralela al la surfaca normala vektoro ${\vec {dS}}$, kaj la kampo estas konstanta pri ĉiuj punktoj de la sfera surfaco. Konsekvence:

$\Phi _{E}=\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\vec {\mathbf {E} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}=\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {E} }\cos \theta d{\mathbf {S} }$

$\Phi _{E}=\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {E} }\cos(0)d{\mathbf {S} }=\mathbf {E} \cdot \iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset d{\mathbf {S} }=\mathbf {E} \cdot 4\pi r^{2}$,

ĉar la surfaco de sfero estas: $\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset d{\mathbf {S} }=4\pi r^{2}\;.$ Laŭ la gaŭsa leĝo:

$\Phi _{E}={\frac {q_{1}}{\varepsilon _{0}}}\;,$

do

$\mathbf {E} ={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\;.$

Se sur la surfaco S oni metas alian punktan elektran ŝargon q₂ (pozitivan aŭ negativan), tiu ŝargo estas submetita al la lorenca forto:

${\vec {\mathbf {F} }}=q_{2}\cdot {\vec {\mathbf {E} }}\;,$

tio estas (kun vektoro ${\vec {r}}$ orientita de punkto q₁ al punkto q₂):

${\vec {\mathbf {F} }}={\frac {q_{1}q_{2}\;.\;{\vec {r}}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}|{\vec {r}}|}}\;,$

kio estas la kulomba leĝo.

Rilato al ekvacioj de Maxwell

La ekvacio de Maxwell-Gauss per elektra ŝovodenso kaj sub diferenciala formo permesas dedukti la leĝon de Gauss, fakte de:

$\nabla \cdot {\vec {\mathbf {D} }}=\rho _{l}\;,$

la apliko de teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso al la ĉi-supra ekvacio rezultigas:

$\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\vec {\mathbf {D} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}=\iiint _{V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\;\;\;\;\;\subset \!\supset \;\rho _{l}\;\mathrm {d} V\;,$

kio estas la gausa leĝo en ĝenerala medio (inkluzive dielektriko). Pri lineara, uniforma, izotropa medio:

${\vec {\mathbf {D} }}=\varepsilon \varepsilon _{0}{\vec {\mathbf {E} }}\;,$

kie ε estas la relativa permitiveco de la medio, do

$\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\vec {\mathbf {E} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}\;={\frac {Q_{l}(V)}{\varepsilon \varepsilon _{0}}}\;.$

Pri libera spaco ε = 1, Q_l(V) = Q(V), tial oni bone retrovas la originan gausan leĝon pri vakuo.

Vidu ankaŭ

• Gaŭso
• Elektra konstanto
• Kulomba leĝo
• Lorenca forto
• Vektora kalkulo