Grupa prezento

Grupa prezenta teorio estas la branĉo de matematiko, kiu studaj propraĵoj de abstraktaj grupoj tra iliaj prezentoj kiel linearaj transformoj de vektoraj spacoj. Prezenta teorio estas grava ĉar ĝi kapabligas multajn grupo-teoriajn problemojn reduktiĝi al problemoj en lineara algebro, kiu estas bonege-komprenita teorio. Ĝi estas ankaŭ grava en fiziko ĉar, ekzemple, ĝi estas uzata por priskribi kiel la simetria grupo de fizika sistemo afektas la solvoj al tiu sistemo.

Prezentoj povas ankaŭ esti difinitaj por aliaj matematikaj strukturoj, kiel asociecaj algebroj, kaj Lie- aŭ Hopf-algebroj; en la resto de ĉi tiu artikolo prezento kaj prezenta teorio signifos nur la prezenton de grupoj.

La termino prezento de grupo estas ankaŭ uzata en pli ĝenerala senco por signifi iun ajn "priskribon" de grupo kiel grupo de transformoj de iu matematika objekto. Pli formale, "priskribo" signifas homomorfion de la grupo al la aŭtomorfia grupo de la objekto. Se la objekto estas vektora spaco, ni havas linearan prezenton. Iuj homoj uzas kompreno por la ĝenerala nocio kaj rezervas la terminon prezento por la speciala kazo de linearaj prezentoj. La amplekso de ĉi tiu artikolo priskribas linearan prezentan teorion; vidu la lastan sekcion por ĝeneraligoj.

Branĉoj de prezenta teorio

Prezenta teorio dividiĝas en subteoriojn dependanta sur la speco de grupo prezentata. La diversaj teorioj estas sufiĉe malsamaj detale, kvankam iuj bazaj difinoj kaj konceptoj estas similaj. La plej gravaj dividoj estas:

• Finiaj grupoj. Grupaj prezentoj estas tre grava ilo en la studo de finiaj grupoj. Ili ankaŭ ekestas en la aplikoj de finia grupa teorio al kristalografio kaj al geometrio. Se la kampo de skalaroj de la vektora spaco havas karakterizon p, kaj se p dividas la ordon de la grupo, tiam ĉi tiu estas nomita modula prezenta teorio; ĉi tiu speciala kazo havas tre malsamajn propraĵojn. Vidu Prezenta teorio de finiaj grupoj.

• Kompaktaj grupoj aŭ loke kompaktaj topologiaj grupoj. Multaj el la rezultoj de finia grupa prezenta teorio estas pruvita per averaĝado super la grupo. Ĉi tiuj pruvoj povas esti portitaj ĝis malfiniaj grupoj per anstataŭo de la averaĝa kun integralo, se akceptebla nocio de integralo povas esti difinita. Ĉi tio povas esti farita por loke kompaktaj grupoj, uzanta la mezuron de Haar. La rezulta teorio estas centra parto de (fourier-a analizo, analizo de Fourier). La duvarianteco de Pontrjagin priskribas la teorion por komutaj grupoj, kiel ĝeneraligita konverto de Fourier. Vidu ankaŭ en teoremo de Peter-Weyl.

• Grupoj de Lie. Multaj gravaj Lie-grupoj estas kompaktaj, tiel la rezultoj de kompakta prezenta teorio turnas sin al ili. Aliaj teknikoj specifaj al Lie-grupoj ankaŭ estas uzataj. La plejparto de la grupoj gravaj en fiziko kaj kemio estas Lie-grupoj, kaj ilia prezenta teorio estas grava al la apliko de grupa teorio en tiuj kampoj. Vidu en prezentoj de Lie-grupoj kaj prezentoj de Lie-algebroj.

• Linearaj algebraj grupoj (aŭ pli ĝenerale afinaj grupaj skemoj). Ĉi tiuj estas la analogoj de Lie-grupoj, sed super pli ĝeneralaj kampoj ol nur R aŭ C. Kvankam linearaj algebraj grupoj havas klasifikon kio estas tre simila al tiu de Lie-grupoj, kaj elkovas la samajn familiojn de Lie-algebroj, iliaj prezentoj estas iom malsamaj (kaj multaj malpli bone komprenitaj). La analitikaj teknikoj uzataj por studi Lie-grupojn devas esti anstataŭigitaj per teknikoj de algebra geometrio, kie la relative malforta Topologio de Zariski kaŭzas multajn teknikajn komplikaĵojn.

• Ne-kompaktaj topologiaj grupoj. Klaso de ne-kompaktaj grupoj estas tro granda por konstrui iun ajn ĝeneralan prezentan teorion, sed specifaj specialaj okazoj devas esti studataj, fojfoje per uzo de specialcelaj teknikoj. La duonsimplaj Lie-grupoj havas profundan teorion, sin subtenantan sur la kompakta kazo. La komplementaj solveblaj Lie-grupoj ne povas en la sama maniero esti klasifikitaj. La ĝenerala teorio por Lie-grupoj laboras kun duonrektaj produtoj de la du specoj, per ĝeneralaj rezultoj nomataj kiel teorio de Mackey, kiu estas ĝeneraligo de manieroj de klasifiko de Wigner.

Prezenta teorio ankaŭ dependas multe de la tipo de vektora spaco sur kiu la grupo agas. Oni diferencigas inter finidimensiaj prezentoj kaj malfinidimensiaj aĵoj. En la malfinidimensia kazo, aldonaj strukturoj estas gravaj (ekz. ĉu ĉu ne la spaco estas hilberta spaco, banaĥa spaco, kaj tiel plu).

Oni devas ankaŭ konsideri la specon de kampo super kiu la vektora spaco estas difinita. La plej grava okazo estas la kampo de kompleksaj nombroj. La alia gravaj okazoj estas la kampo de reelaj nombroj, finiaj kampoj, kaj kampoj de "p-adic" nombroj. Ĝenerale, algebre fermitaj kampoj estas pli simplaj por trakti ol ne-algebre fermitaj aĵoj. La karakterizo de la kampo estas ankaŭ grava; multaj teoremoj por finiaj grupoj dependas de tio ĉu la ordo de la grupo ne dividas la karakterizon de la kampo.

Difinoj

prezento de grupo G sur vektora spaco V super kampo K estas grupa homomorfio de G al Gl(V), la ĝenerala lineara grupo sur V. Tio estas, prezento estas mapo

$\rho :G\to GL(V)$

tia (tiu, ke, kiu)

$\rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2})$ por ĉiuj $g_{1},g_{2}\in G$.

V estas nomita la prezenta spaco kaj la dimensio de V estas nomita la dimensio de la prezento. Estas komuna praktiko nomi V mem la prezento kiam la homomorfio estas klara de la ĉirkaŭteksto (kaj, ofte, eĉ kiam ĝi ne estas).

En la kazo kie V estas de finia dimensio n estas komune elekti bazon por V kaj identigi Gl(V) kun Gl(n, K) la grupo de n-per-n inversigeblaj matricoj.

La kerno de prezento $\rho$ de grupo G estas difinita kiel la normala subgrupo de G kies bildo sub $\rho$ estas la identa transformo:

$\ker \rho :=\left\{g\in G\mid \rho (g)=id\right\}$

konscienca prezento estas unu en kiu la homomorfio G → Gl(V) estas (disĵeta, enjekcia); en aliaj vortoj, unu kies kerno estas la bagatela subgrupo {e} konsistanta el nur la grupa identa ero.

Donita du F vektoraj spacoj V kaj W, du prezentoj

$\rho _{1}:G\to GL(V)$

kaj

$\rho _{1}:G\rightarrow GL(W)$

estas dirita al esti ekvivalento aŭ izomorfia se tie ekzistas vektora spaca izomorfio

$\alpha :W\to V$

tiel ke por ĉiuj g en G

$\alpha \circ \rho _{1}(g)\circ \alpha ^{-1}=\rho _{2}(g)$

Ekzemploj

Konsideri la kompleksan nombron u = e^{2πi / 3} kiu havas la propraĵon u³ = 1. La cikla grupo C₃ = {1, u, u²} havas prezenton ρ sur C² donitan per:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}$

(la tri matricoj estas ρ(1), ρ(u) kaj ρ(u²) respektive). Ĉi tiu prezento estas konscienca ĉar ρ estas bijekcia mapo.

Izomorfia prezento por C₃ estas

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

La grupo C₃ povas esti ankaŭ prezentita en R² kiel

$\rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}$

kie a=Re(u)=-1/2 kaj b=Im(u)=3^1/2/2.

Malpligrandiĝebleco

Subspaco W de V, kiu estas fiksita sub la grupa ago, nomiĝas subprezento. Se V havas ne-nulan subprezenton, oni diras, ke la prezento V estas reduktebla. Alie, ĝi estas nereduktebla.

Sub certa supozo, prezentoj de finiaj grupoj povas esti malkomponitaj en rektan sumon de neredukteblaj subprezentoj (vidu en teoremo de Maschke). La postulita supozo estas, ke la karakterizo de la kampo K ne dividas la amplekson de la grupo. Ĉi tio estas vera por prezentoj super la kompleksaj nombroj.

En la ekzemplo pli supre, la prezento donita estas malkomponebla en du 1-dimensiajn subprezentojn, donitaj per span{(1,0)} kaj span{(0,1)}, la tria prezento estas ne malpligrandiĝebla.

Ĝeneraligoj

Aro-teoriaj prezentoj

Aro-teoria prezento (ankaŭ nomata kiel grupa ago aŭ permuta prezento) de grupo G sur aro X estas donita per funkcio ρ de G al X^X, la aro de funkcioj de X al X, tia, ke por ĉiuj g₁, g₂ en G kaj ĉiuj x en X:

$\rho (1)[x]=x$

$\rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]]$

Ĉi tiu kondiĉo kaj la aksiomoj por grupo enhavas, ke ρ(g) estas reciproke unuvalora surĵeto (aŭ permuto) por ĉiuj g en G. Tial ni povas ekvivalente difini permutan prezenton esti grupa homomorfio de G al la simetria grupo S_X de X.

Por plua informo vidu artikolon grupa ago.

Prezentoj en aliaj kategorioj

Ĉiu grupo G povas esti vidita kiel kategorio kun sola objekto; strukturkonservantaj transformoj en ĉi tiu kategorio estas simple la eroj de G. Donita ajna kategorio C, prezento de G en C estas funktoro de G al C. Tia funktoro elektas objekton X en C kaj grupan homomorfion de G por Aut(X), la aŭtomorfia grupo de X.

En la kazo kie C estas Vect_K, la kategorio de vektoraj spacoj super kampo K, ĉi tiu difino estas ekvivalento al lineara prezento. Ankaŭ, aro-teoria prezento estas simple prezento de G en la kategorio de aroj.

Por alia ekzemplo konsideru la kategorion de topologiaj spacoj, Supro. Prezentoj en Supro estas homomorfioj de G al la homeomorfia grupo de topologia spaco X.

Du specoj de prezentoj proksime rilataj al linearaj prezentoj estas:

• projekciaj prezentoj: en la kategorio de projekciaj spacoj. Ĉi tiuj povas esti priskribitaj kiel "linearaj prezentoj supren al skalaraj transformoj".
• afinaj prezentoj: en la kategorio de afinaj spacoj. Ekzemple, la Eŭklida grupo (agas, operacias) afine sur Eŭklida spaco.

Vidu ankaŭ

• Signa teorio