Meznombra valora teoremo

Meznombra valora teoremo, konata ankaŭ kiel teoremo de Lagrange estas teoremo uzata en analitiko.

Teoremo de Lagrange

Estu $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ kontinua en $[a,b]\quad$ kaj derivebla en $(a,b)\quad$; tiam $\exists \ c\ \in (a,b)\ :f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

Pruvo

Por la pruvo oni necesas funkcion, al kiu la teoremo de Rolle aplikeblas. Oni konstruu funkcion $h(x)\quad$ tiel, ke en la intervalo $[a,b]\quad$ estas kontinua, derivebla kaj $h(a)=h(b)\quad$: $h(x)=f(x)+kx\quad$, kie $k\quad$ estas determinenda konstanta por ke la teoremo de Rolle estas valida: $h(a)=f(a)+ka\quad$ kaj $h(b)=f(b)+kb\quad$. Ĉar $h(a)=h(b)$, tial $f(a)+ka=f(b)+kb\quad$. Do $k=-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$. La funkcio estas $h(x)=f(x)+-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}kx\quad$. Oni apliku la teoremon de Rolle kaj derivu la funkcion: $h'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$. Se la funkcio estas kontinua, derivebla kaj $f(a)=f(b)\quad$, tiam $\exists \ c\ \in (a,b)\ :f'(c)=0$. Do ekzistus $c\in (a,b)$ tiel, ke $h'(c)=0\quad$, tiel ke $f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0$. La meznombra valora teoremo estas pruvata.