Teoremo de Euler pri multedroj

Teoremo de Euler pri multedroj, Teoremo de Euler pri reliefaj multedroj - teoremo pri reliefaj multedroj. Ĝi temas pri dependo inter nombroj de verticoj, edroj kaj lateroj de multedro.

$V+E=L+2\;$

kaj:

• V — nombro de verticoj
• E — nombro de edroj
• L — nombro de lateroj

Pruvo

Se multedro oni estus tranĉata laŭlonge laterojn, sed tiel ke edroj povas ĉei, oni povas tuta multedro kuŝi sur ebeno. Tiel maniera estas serio de poligonoj je flankoj, kiu estas pare koincidantaj. Elektu unua poligono, tiam E = 1, kaj nombro de lateroj kaj nombro de verticoj egalas. V = L, do:

$E+V=L+1\;$

Elektu sekvan poligonon, kiu estas koincidantaj al unua. Estas E = 2, ĉar poligonoj havas unu komunan lateron kaj du komunajn verticojn, do nombro de lateroj estas je 1 alta ol nombro de vertcoj: L = V + 1, do denove estas:

$E+V=L+1\;$

Sekvaj poligonoj ne ŝanĝos formulon krom lasta poligono, ĉar nombro de lateroj kaj de verticoj ne ŝanĝos (ili estis kalkulita jam antaŭe), do formulo fine estos:

$E+V=L+2\;$

Karakteristiko de Euler

Karakteristiko de Euler $\chi$ estas variablo kiu priskribas multedroj, laŭ formulo:

$\chi =V-L+E\,\!$

Por relifaj multedroj:

$\chi =V-L+E=2.\,\!$

Nomo	Bildo	Verticoj V	Lateroj L	Edroj E	Karakteristiko de Euler: V − L + E
Kvaredro		4	6	4	2
Sesedro		8	12	6	2
Okedro		6	12	8	2
Dekduedro		20	30	12	2
Dudekedro		12	30	20	2

Karakteristiko de Euler por ne reliefaj multedroj:

Nomo	Bildo	Verticoj V	Lateroj L	Edroj E	Karakteristiko de Euler: V − L + E
Kvar-duon-sesedro		6	12	7	1
Ok-duon-okedro		12	24	12	0
Kubo-duon-okedro		12	24	10	−2
Granda dudekedro		12	30	20	2