Teorio de Landau

La teorio de Landau estas makroskopa teorio de faztransiro far Lev Landau. Ĝi kalkulas la kritajn eksponentojn de dua-orda faztransiroj el du aksiomoj:

1. La libera energio de la sistemo estas analitika;
2. La libera energio sekvas la simetriojn de la hamiltoniano.

Difino

Konsideru makroskopan sistemon kun faztransiro ĉe temperaturo $T_{0}$: la sistemo estas senorda ĉe $T>T_{0}$ kaj orda ĉe $T<T_{0}$. Elektu ordo-parametron $m$ kiu

• nulas ĉe $T>T_{0}$
• ne nulas ĉe $T<T_{0}$.

Alivorte, $m$ estas mezuro de la ordo de la sistemo.

La libera energio $F$ de la sistemo (la helmholca libera energio se ni supozas la kanonan ensemblon) estas

$\exp(-F\beta )=Z=\sum _{i}\exp(-E_{i}\beta )$.

Ni uzu la proksimumadon de la averaĝa kampo kaj supozu ke

$Z(T,m)=\exp(-F_{0}(T))\int \operatorname {D} \!m\;\exp(-F_{\mathrm {L} }(T,m))$.

Do ni uzu la selan proksumumadon

$\int \operatorname {D} \!m\;\exp(-F_{\mathrm {L} }(T,m))\approx \exp(-F_{\mathrm {L} }(T,m_{\min }))$

kie $m_{\min }$ estas la minimumejo de $F_{\mathrm {L} }(T,m)$. Do

$A=F_{0}(T)+F_{\mathrm {L} }(T,m_{\min })$.

Ni supozu ke $F_{\mathrm {L} }(T,m)$ analitike dependas de $T$ kaj $m$ kaj sekvas la simetriojn de la sistemo. Do ni skribu la plej ĝeneralan analitikan serion por $A_{\mathrm {L} }$ kaj solvu por $m_{\min }$.

Ekzemplo: Modelo de Ising

La modelo de Ising, kiu modelas magneton kun spinoj $s_{i}=\pm 1$, havas faztransiron por du aŭ pli multaj dimensioj. La kutima ordo-parametro estas la magnetado $M=\langle s\rangle$, kiu estas averaĝo de la spinoj. La modelo de Ising estas simetria per la inversigo de ĉiuj spinoj, k.e. $M\mapsto -M$.

La esprimo por la libera energio $F(M)$ estas do

$F_{\mathrm {L} }(T,M)={\frac {1}{2}}a(T-T_{0})M^{2}+{\frac {1}{4}}bM^{4}+\cdots$.

Observu ke ne ekzistas termo kun nepara eksponento de $M$ ($M$, $M^{3}$, ktp.) ĉar la simetrio $M\mapsto -M$. Supozante ke $a,b>0$ kaj neglektante alta-ordajn termojn, la minimumejo de $F$ estas

$M_{\min }={\begin{cases}0&{\text{se }}T\geq T_{0}\\\pm {\sqrt {a(T_{0}-T)/b}}&{\text{se }}T\leq T_{0}.\end{cases}}$

La minimumo de $F_{\mathrm {L} }$ estas

$F_{\mathrm {L} }(T,M_{\min })={\begin{cases}0&{\text{se }}T\geq T_{0}\\-a^{2}(T-T_{0})^{2}/4b&{\text{se }}T\leq T_{0}.\end{cases}}$

Ni vidas ke:

• Ekzistas faztransiro ĉe $T=T_{0}$. La faztransiro estad dua-orda: la ordo de la faztransiro estas minimuma la eksponento $n$ tia ke $(\partial /\partial T)^{n}F$ ne kontinuas.
• Sub $T_{0}$, la simetrio $M\to -M$ spontanee rompiĝas, ĉar $M_{\min }\neq 0$.
• La krita eksponento $\beta$ estas la eksponento tia ke $M\propto (T-T_{0})^{\beta }$ sub la faztransira temperaturo. La teorio de Landau prognozas ke $\beta =1/2$. (Fakte, $\beta \approx 1/3$.)

Referencoj

• K Huang, Statistical mechanics (statistika mekaniko), 2a eld., Wiley, 1987. ISBN 0-471-81518-7
• "Landau theory of phase transitions", SklogWiki
• PD Olmsted, Lectures on Landau theory of phase transitions
• MC Cross, "Landau theory of second order phase transitions" Arkivigite je 2010-06-22 per la retarkivo Wayback Machine (notoj el Caltech)
• IR Yukhnovskii, Phase transitions of the second order: collective variables method, World Scientific, 1987. ISBN 9971-50-087-6