Transformo de Möbius

Transformo de Möbius devus esti ne konfuzita kun la konverto de Möbius kaj la funkcio de Möbius.

En matematiko, Transformo de Möbius estas bijekcia konforma bildigo de la etenda kompleksa ebeno (kio estas la kompleksa ebeno pligrandigita per la punkto je malfinio):

${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.$

La aro de ĉiuj transformoj de Möbius formas grupon sub komponaĵo nomita kiel la grupo de Möbius. Transformoj de Möbius estas nomataj ankaŭ kiel frakciaj linearaj transformoj.

Ĝenerala priskribo

La möbius-a grupo estas la aŭtomorfia grupo de la rimana sfero

${\mbox{Aut}}({\widehat {\mathbb {C} }}).$

Certaj subgrupoj de la möbius-a grupo formas aŭtomorfiajn grupojn de la aliaj simple-koneksaj rimanaj surfacoj (la kompleksa ebeno kaj la hiperbola ebeno). Kiel tia, möbius-aj transformoj ludas gravan rolon en la teorio de rimanaj surfacoj. La kovranta grupo de ĉiu rimana surfaco estas diskreta subgrupo de la möbius-a grupo (vidu grupon de Klein). möbius-aj transformoj estas ankaŭ proksime rilatanta al (izometrioj, izometrias) de hiperbolaj 3-duktoj.

Aparte grava subgrupo de la möbius-a grupo estas la modula grupo; ĝi estas centralo al la teorio de multaj fraktaloj, modulaj formoj, elipsaj kurboj.

Difino

La ĝenerala formo de transformo de Möbius estas donita per

$z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$

kie a, b, c, d estas kompleksaj nombroj tiuj ke ad − _bc_ ≠ 0. Ĉi tiu difino povas esti etendita al la tuta Rimana sfero (la kompleksa ebeno plus la punkto je malfinio) kun du specialaj okazoj:

• la punkto $z=-d/c$ estas mapita al $\infty$
• la punkto $z=\infty$ estas mapita al $a/c$

Oni povas havi Möbius-ajn transformojn por la reelaj nombroj kaj ankaŭ por la kompleksaj nombroj. En ambaŭ okazoj, oni bezonas pligrandigi la domajnon per punkto je malfinio.

La kondiĉo ad − bc ≠ 0 asekuras ke la transformo estas inversigebla). La inversa transformo estas donita per

$z\mapsto {\frac {dz-b}{-cz+a}}$

kun la samaj specialaj okazoj.

Malfiniigantoj de la transformo

La punkto

$z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}$

estas la malfiniiganto de ${\mathfrak {H}}$; ĉe tiu punkto, la valoroj de ${\mathfrak {H}}(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$ estas mallime grandaj.

La inversa malfiniiganto

$Z_{\infty }={\frac {a}{c}}$

estas la punkto al kiu la punkto je malfinio estas bildigata. La punkto _midway_ inter la du (polusoj, polusas) estas ĉiam la sama kiel la punkto _midway_ inter la du fiksaj punktoj:

$\gamma _{1}+\gamma _{2}=z_{\infty }+Z_{\infty }$

Ĉi tiuj kvar punktoj estas verticoj de paralelogramo kiu estas kelkfoje nomata la karakteriza paralelogramo de la transformo.

(Konverti, Konverto) ${\mathfrak {H}}$ povas esti precizigita kun du fiksaj punktoj $\gamma _{1},\gamma _{2}$ kaj la poluso $z_{\infty }$.

${\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}Z_{\infty }&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix}},\;\;Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty }$

Ĉi tiu permesas al ni derivi formulo por konvertiĝo inter $k$ kaj $z_{\infty }$ donita $\gamma _{1},\gamma _{2}$:

$z_{\infty }={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}}$

$k={\frac {\gamma _{2}-z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}}{Z_{\infty }-\gamma _{2}}}={\frac {a-c\gamma _{1}}{a-c\gamma _{2}}}$

Kiu reduktas lanugo al

$k={\frac {(a+d)+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}$

La lasta esprimo koincidas kun unu de la (reciproke (reciproka, reciprokaĵo, inverso)) ajgeno (rilatoj, rilatas, kvocientoj, kvocientas) $\lambda _{1} \over \lambda _{2}$ de la matrico

${\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

(figuranta, prezentanta) la (konverti, konverto) (kompari la diskuto en la antaŭvenanta sekcio pri la karakteriza konstanto de transformo). Ĝia karakteriza polinomo estas egala al

${\mbox{det}}(\lambda I_{2}-{\mathfrak {H}})=\lambda ^{2}-{\mbox{tr}}{\mathfrak {H}}\,\lambda +{\mbox{det}}{\mathfrak {H}}=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)$

kiu havas (radikoj, radikas)

$\lambda _{i}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2}}\ .$

Preciziganta transformo per tri punktoj

Proksimumo per rekta maniero

Ĉiu aro de tri punktoj

$Z_{1}={\mathfrak {H}}(z_{1}),\;\;Z_{2}={\mathfrak {H}}(z_{2}),\;\;Z_{3}={\mathfrak {H}}(z_{3})$

unike difinas transformon ${\mathfrak {H}}$. Por kalkuli ĉi tiun eksteren, estas oportune utiligi transformon, tio estas per ebeno kun tri punktoj sur (0,0), (1, 0) kaj la punkto je malfinio.

${\mathfrak {H}}_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {z_{2}-z_{3}}{z_{2}-z_{1}}}&-z_{1}{\frac {z_{2}-z_{3}}{z_{2}-z_{1}}}\\1&-z_{3}\end{pmatrix}},\;\;{\mathfrak {H}}_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {Z_{2}-Z_{3}}{Z_{2}-Z_{1}}}&-Z_{1}{\frac {Z_{2}-Z_{3}}{Z_{2}-Z_{1}}}\\1&-Z_{3}\end{pmatrix}}$

Unu povas forigi la (infinitoj, infinitas, malfinioj, malfinias, nefinioj, nefinias) per multiplikante ekster per $z_{2}-z_{1}$ kaj $Z_{2}-Z_{1}$ kiel antaŭe (tononomis, notita).

${\mathfrak {H}}_{1}={\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&z_{1}z_{3}-z_{1}z_{2}\\z_{2}-z_{1}&z_{1}z_{3}-z_{3}z_{2}\end{pmatrix}},\;\;{\mathfrak {H}}_{2}={\begin{pmatrix}Z_{2}-Z_{3}&Z_{1}Z_{3}-Z_{1}Z_{2}\\Z_{2}-Z_{1}&Z_{1}Z_{3}-Z_{3}Z_{2}\end{pmatrix}}$

La matrico ${\mathfrak {H}}$ al mapo $z_{1,2,3}$ sur $Z_{1,2,3}$ tiam iĝas

${\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{2}^{-1}{\mathfrak {H}}_{1}$

Vi povas multipliki ĉi tiu ekster, se vi bezono, sed se vi estas skribanta kodo tiam ĝi's pli simpla al uzi nedaŭra (variabloj, variablas) por la mezo (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas).

Eksplicita determinanta formulo

La problemo de konstruanta Transformo de Möbius ${\mathfrak {H}}(z)$ (mapanta, bildigo) triopo $(z_{1},z_{2},z_{3})$ al alia triopo $(w_{1},w_{2},w_{3})$ estas ekvivalento al trovanta la ekvacio de norma hiperbolo

$\,cwz-az+dw-b=0$

en la (z,w)-ebeno (trairanta, pasanta) tra la punktoj $(z_{i},w_{i})$. Eksplicita ekvacio povas troviĝi per pritaksanta la determinanto

$\det {\begin{pmatrix}zw&z&w&1\\z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}\,$

per Laplaca elvolvaĵo laŭ la unua (linio, vico). Ĉi tiuj rezultoj en la determinantaj formuloj

$a=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}\,$

$b=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}\end{pmatrix}}\,$

$c=\det {\begin{pmatrix}z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}\,$

$d=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&1\end{pmatrix}}$

por la koeficientoj $a,b,c,d$ de la (figuranta, prezentanta) matrico $\,{\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$. La konstruis matrico ${\mathfrak {H}}$ havas determinanto egala al $(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{1}-w_{2})(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{3})$ kiu ne nuliĝi se la z_mi _resp_. w_mi estas duoplarĝa malsama tial la Transformo de Möbius estas bone-difinita.

Mallaŭdo: A simila determinanto (kun $wz$ (anstataŭigita, anstataŭigis) per $w^{2}+z^{2}$) (plumboj, plumbas, kondukas) al la ekvacio de cirklo tra tri malsama (ne samrekta) punktoj en la ebeno.

Cetera maniero uzante kruci-rilatojn de kvar punktoj

Ĉi tiu konstruado ekspluatas la fakton (menciitan en la unua sekcio), ke la kruci-rilato

${\mbox{cr}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={{(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})} \over {(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}$

estas invarianto sub Transformo de Möbius (mapanta, bildigo) kvaropo $(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})$ al $(w_{1},w_{2},w_{3},w_{4})$ tra $w_{i}={\mathfrak {H}}z_{i}$. Se ${\mathfrak {H}}$ (mapoj, mapas) triopo $(z_{1},z_{2},z_{3})$ de duoplarĝa malsama z_mi al alia triopo $(w_{1},w_{2},w_{3})$, tiam la Transformo de Möbius ${\mathfrak {H}}$ estas difinita per la ekvacio

${\mbox{cr}}({\mathfrak {H}}(z),w_{1},w_{2},w_{3})={\mbox{cr}}(z,z_{1},z_{2},z_{3})$

aŭ skribita ekster en (betono, konkreta) (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas):

${{({\mathfrak {H}}(z)-w_{2})(w_{1}-w_{3})} \over {({\mathfrak {H}}(z)-w_{3})(w_{1}-w_{2})}}={{(z-z_{2})(z_{1}-z_{3})} \over {(z-z_{3})(z_{1}-z_{2})}}\ .$

La lasta ekvacio povas esti konvertita enen

${{{\mathfrak {H}}(z)-w_{2}} \over {{\mathfrak {H}}(z)-w_{3}}}={{(z-z_{2})(w_{1}-w_{2})(z_{1}-z_{3})} \over {(z-z_{3})(w_{1}-w_{3})(z_{1}-z_{2})}}\ .$

Solvanta ĉi tiu ekvacio por ${\mathfrak {H}}(z)$ unu ricevas la _sought_ transformo.

Rilato al la fiksa punkta normala formo

Alpreni (tiu, ke, kiu) la punktoj $z_{2},\,z_{3}$ estas la du (malsama) fiksaj punktoj de la Konverto de Möbius ${\mathfrak {H}}$ kio estas $w_{2}=z_{2},\,w_{3}=z_{3}$. Skribi $z_{2}=\gamma _{1},\,z_{3}=\gamma _{2}$. La lasta ekvacio

${{{\mathfrak {H}}(z)-w_{2}} \over {{\mathfrak {H}}(z)-w_{3}}}={{(z-z_{2})(w_{1}-w_{2})(z_{1}-z_{3})} \over {(z-z_{3})(w_{1}-w_{3})(z_{1}-z_{2})}}$

tiam legas

${{{\mathfrak {H}}(z)-\gamma _{1}} \over {{\mathfrak {H}}(z)-\gamma _{2}}}={{(w_{1}-\gamma _{1})(z_{1}-\gamma _{2})} \over {(w_{1}-\gamma _{2})(z_{1}-\gamma _{1})}}\cdot {{z-\gamma _{1}} \over {z-\gamma _{2}}}\ .$

En la antaŭa sekcio sur normala forma Konverto de Möbius kun du fiksaj punktoj $\gamma _{1},\gamma _{2}$ estita esprimita uzanta la karakteriza konstanto k de la (konverti, konverto) kiel

${{{\mathfrak {H}}(z)-\gamma _{1}} \over {{\mathfrak {H}}(z)-\gamma _{2}}}=k\,{{z-\gamma _{1}} \over {z-\gamma _{2}}}\ .$

(Komparanta, Kontrastiganta) ambaŭ esprimoj unu derivas la egaleco

$k={{(w_{1}-\gamma _{1})(z_{1}-\gamma _{2})} \over {(w_{1}-\gamma _{2})(z_{1}-\gamma _{1})}}={\mbox{cr}}(w_{1},z_{1},\gamma _{1},\gamma _{2})\ ,$

kie $z_{1}$ estas malsama de la fiksaj punktoj $\gamma _{1},\,\gamma _{2}$ kaj $w_{1}={\mathfrak {H}}(z_{1})$ estas la bildo de z₁ sub ${\mathfrak {H}}$. En aparta la kruci-rilato ${\mbox{cr}}({\mathfrak {H}}(z),z,\gamma _{1},\gamma _{2})$ ne dependi sur la elekto de la punkto z (malsama de la du fiksaj punktoj) kaj estas egala al la karakteriza konstanto.

Vidu ankaŭ

• August Ferdinand Möbius
• Grupo de Fuchs
• Hiperbola geometrio
• Inversa ringa geometrio
• Grupo de Klein
• Lorenca grupo
• Modula grupo
• Poincaré-duonebena modelo
• Projekcia geometrio
• Dulineara konverto

Referencoj

• (Celita je ne-matematikistoj, provizas bonegan montraĵon pri teorio kaj rezultoj, riĉe ilustrita per figuroj.)

• (Vidi ĉapitrojn 3-5 de ĉi tiu klasika libro por bela enkonduko al la Rimana sfero, stereografia projekcio, kaj Möbius-transformoj.)

• (Vidu ĉapitron 3 por bele ilustrita enkonduko al transformoj de Möbius inkludanta ilian klasifikon)

• Vidi ĉapitron 2.

• (Vidi Ĉapitron 2 por diversaj izomorfioj, kaj por la Lorenca grupo vidita kiel Galezagrupo.)

• (Vidi ĉapitron 6 por la klasifiko, supren al konjugacio de la kruca algebro de la Lorenca grupo.)

Eksteraj ligiloj

• A java-apleto permesanta precizigi transformon tra ĝiaj fiksaj punktoj kaj tiel plu povas troviĝi je uzantas)._bigpond_._com_/_pmurray_/Javo/_MoebApplet_.html.