Vektoraj kampoj en cilindraj kaj sferaj koordinatoj

Vektoraj kampoj en cilindraj koordinatoj

Vektoroj estas difinita en cilindraj koordinatoj per (ρ,φ,z), kie

• ρ estas la longo de la vektoro projektita sur la X-Y-ebeno,
• φ estas la angulo de la projektita vektoro kun la pozitiva abscisa akso (0 ≤ φ < 2π),
• z estas la regula z-koordinato.

(ρ,φ,z) estas donita en karteziaj koordinatoj per:

$\left[{\begin{matrix}\rho &=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\phi &=&\operatorname {arctan} (y/x),&0\leq \phi <2\pi \\z&=&z\end{matrix}}\right.$

aŭ inverse per:

$\left[{\begin{matrix}x&=&\rho \cos \phi \\y&=&\rho \sin \phi \\z&=&z\end{matrix}}\right.$

Ĉiu vektora kampo povas esti skribita en terminoj de la unuoblaj vektoroj kiel:

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}$

La cilindraj unuoblaj vektoroj estas rilatanta al la karteziaj unuoblaj vektoroj per:

${\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\hat {z}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$

• Noto: la matrico estas perpendikulara matrico, do, ĝia inverso estas egala al ĝia transpono.

Tempa derivaĵo de vektora kampo en cilindraj koordinatoj

Por ekscii kiel la vektora kampo A ŝanĝas kun tempo (argumento) oni kalkulu la tempajn derivaĵojn. En karteziaj koordinatoj ĉi tio estas:

$\mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}}$

En cilindraj koordinatoj ĉi tio estas:

$\mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\rho }{\boldsymbol {\dot {\hat {\rho }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}+A_{z}{\boldsymbol {\dot {\hat {z}}}}$

La tempaj derivaĵoj de la unuoblaj vektoroj estas donitaj per:

$\left[{\begin{matrix}{\boldsymbol {\dot {\hat {\rho }}}}&=&{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=&-{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {z}}}}&=&0\end{matrix}}\right.$

Do la tempa derivaĵo simpliĝas al:

$\mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {\rho }}}({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\dot {\phi }})+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}({\dot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\dot {\phi }})+{\boldsymbol {\hat {z}}}{\dot {A}}_{z}$

Gradiento, diverĝenco, kirlo kaj laplaca operatoro en cilindraj koordinatoj

La formuloj de gradiento, diverĝenco, kirlo kaj laplaca operatoro en cilindraj koordinatoj estas en artikolo nabla operatoro en cilindraj kaj sferaj koordinatoj.

Vektoraj kampoj en sferaj koordinatoj

Vektoroj estas difinitaj en sferaj koordinatoj per (r,θ,φ), kie

• r estas la longo de la vektoro,
• θ estas la angulo kun la pozitiva Z-akso (0 <= θ <= π),
• φ estas la angulo kun la X-Z-ebeno (0 <= φ < 2π).

(r,θ,φ) estas donita en karteziaj koordinatoj per:

$\left[{\begin{matrix}r&=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=&\arccos \left(z/r\right),&0\leq \theta \leq \pi \\\phi &=&\operatorname {arctan} (y/x),&0\leq \phi <2\pi \end{matrix}}\right.$

aŭ inverse per:

$\left[{\begin{matrix}x&=&r\sin \theta \cos \phi \\y&=&r\sin \theta \sin \phi \\z&=&r\cos \theta \end{matrix}}\right.$

Ĉiu vektora kampo povas esti skribita en terminoj de la unuoblaj vektoroj kiel:

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$

La sferaj unuoblaj vektoroj estas rilatanta al la karteziaj unuoblaj vektoroj per:

${\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$

• Noto: la matrico estas perpendikulara matrico, do, ĝia inverso estas egala al ĝia transpono.

Tempa derivaĵo de vektora kampo en sferaj koordinatoj

Por ekscii kiel la vektora kampo A ŝanĝas kun tempo (argumento) oni kalkulu la tempajn derivaĵojn. En karteziaj koordinatoj ĉi tio estas:

$\mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}}$

En sferaj koordinatoj ĉi tio estas:

$\mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}$

La tempaj derivaĵoj de la unuoblaj vektoroj estas donitaj per:

${\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\dot {\theta }}&{\dot {\phi }}\sin \theta \\-{\dot {\theta }}&0&{\dot {\phi }}\cos \theta \\-{\dot {\phi }}\sin \theta &-{\dot {\phi }}\cos \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}$

La tempa derivaĵo estas:

$\mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta )+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta )+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta )$

Gradiento, diverĝenco, frizo kaj laplaca operatoro en sferaj koordinatoj

La formuloj de gradiento, diverĝenco, kirlo kaj laplaca operatoro en cilindraj koordinatoj estas en artikolo nabla operatoro en cilindraj kaj sferaj koordinatoj.