Hipergeometria serio

En matematiko, hipergeometria serio estas potencoserio en kiu la rilatumoj de sinsekvaj koeficientoj k estas racionala funkcio de k. La serio, se ĝi konverĝas, difinas hipergeometrian funkcion, kiu estas difinebla sur pli granda argumentaro per analitika vastigaĵo. La hipergeometria serio estas ĝenerale skribita:

$_{p}F_{q}(a_{1},\dotsc ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha _{n}z^{n}}{n!}}$,

en kiu $\alpha _{0}=1$ kaj

${\frac {\alpha _{n+1}}{\alpha _{n}}}={\frac {(n+a_{1})(n+a_{2})\dotsm (n+a_{p})}{(n+b_{1})(n+b_{2})\dotsm (n+b_{q})}}$.

La serio povas ankaŭ esti jene skribita:

$_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\ldots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\ldots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}$

kie $(a)_{n}=a(a+1)\cdots (a+n-1)$ estas la simbolo de Pochhammer.

Difino

Hipergeometria serio estas ajna formala potencoserio

$\sum _{n}\beta _{n}$

en kiu la rilatumo de sinsekvaj termoj

${\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}$

estas racionala funkcio de n. Tio estas,

${\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {{\tilde {P}}(n)}{{\tilde {Q}}(n)}}$

por iu polonomo ${\tilde {P}}(n)$ kaj ${\tilde {Q}}(n)$. Ekzemple, ĉe geometria serio, ĉi tiu rilatumo estas konstanto. Alia ekzemplo estas la serio por la eksponenta funkcio, por kiu

${\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {z}{n+1}}.$

Praktike, la serio estas skribata kiel eksponenta funkcia generanta funkcio, modifante la koeficientojn tiel ke ĝenerala termo de la serio havas la formon

$\beta _{n}={\frac {z^{n}\alpha _{n}}{n!}}$,

kaj $\alpha _{0}=1$.

Multaj interesaj serioj en matematiko havas la propraĵon, ke la rilatumo de sinsekvaj termoj estas racionala funkcio. Tamen, kiam esprimita kiel eksponenta funkcia generanta funkcio, tia serio havas ne-nulan konverĝoradiuson nur sub limigitaj kondiĉoj. Tial, per konvencio, la uzo de la termino hipergeometria serio estas kutime limigita al la kazo kie la serio difinas realan analitikan funkcion kun ne-nula konverĝoradiuso. Tia funkcio, kaj ĝiaj analitikaj vastigaĵoj, estas nomitaj la hipergeometria funkcio.

Konverĝajn kondiĉojn malkovris Carl Friedrich Gauss, kiu diskutis la kazon

${\frac {\alpha _{n+1}}{\alpha _{n}}}={\frac {(n+a)(n+b)}{(n+c)}}$,

kiu difinas la klasikan hipergeometrian funkcion

$_{2}F_{1}(a,b,c;z)$.

Notacio

La norma notacio por la ĝenerala hipergeometria serio estas

$_{m}F_{p}$

en kiu la entjeroj m kaj p signifas la gradojn de la polinomoj P kaj Q, respektive, obeantaj la rilaton

${\frac {\alpha _{n+1}}{\alpha _{n}}}={\frac {P(n)}{Q(n)}}.$

Se m>p+1, la konverĝoradiuso estas nul; tial, tiukaze la hipergeometria serio ne estas analitika funkcio. La serio nature finiĝas, se P(n) estas ie 0 ĉe iu natura nombro n. (Male, Q(n) ne povas esti nul; se tio okazus, la koeficientoj estus ne difineblaj.)

La plena notacio por F alprenas, ke P kaj Q estas _monic_ kaj faktorigitaj, tiel ke la notacio por F inkluzivas m-opa kio estas la listo de la kliŝ(aĵ)oj de la nuloj de P kaj p-opo de la kliŝ(aĵ)oj de la nuloj de Q. Ĉi tio estas ne multa limigo: la fundamenta teoremo de algebro aplikiĝas, kaj ni povas ankaŭ absorbi kondukantan koeficiento de P aŭ Q per redifinado de z. Post la faktorigo, ĝenerala termo en la serio tiam havas la formon de rilatumo de produtoj de simboloj de Pochhammer. Ĉar Pochhammer-a notacio por pligrandiĝantaj faktorialoj estas tradicia, estas pli nete skribi F kun la kliŝ(aĵ)oj de la nuloj. Tial, ekzemple, oni havas

$_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}$

en kiu

$(a)_{n}=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)$

estas la simbolo de Pochhammer. Ĉi tie, la nuloj de P estis −a kaj −b, dum la nulo de Q estis −c.

Propraĵoj

Kelkaj identaĵoj pri hipergeometriaj funkcioj estis esploritaj en la 19-a kaj 20-a jarcentoj; Bailey kompilis klasikan liston de tiaj identaĵoj. Nun oni komprenas, ke ekzistas grandegaj de tiaj identaĵoj. Ekzistas algoritmoj por generi kaj pruvi ĉi tiujn identaĵojn.

Ekzemploj

La klasikaj ortaj polinomoj povas ĉiuj esti esprimitaj kiel specialaj kazoj de $_{2}F_{1}$, en kiu unu aŭ ambaŭ el a kaj b estas negativaj entjeroj. Simile, la funkcioj de Legendre ankaŭ estas speciala kazo.

Aplikoj de hipergeometria serio inkluzivas la inversigon de elipsaj integraloj; ĉi tiuj estas konstruitaj per preni la rilatumon de la du lineare sendependaj solvaĵoj de la hipergeometria diferenciala ekvacio por formi Schwarz-Christoffel-ajn mapojn de la fundamenta domajno al la kompleksa projekcia linio aŭ Rimana sfero.

La funkcio de Kummer ₁F₁(a,b;z) estas konata kiel la kunflua hipergeometria funkcio.

La funkcio ₂F₁ havas kelkajn integralajn prezentojn, inkluzivantaj la Eŭleran hipergeometrian integralon.

Historio

Studoj en la dek-naŭa jarcento inkluzivis tiujn de Ernst Kummer, kaj la fundamentan karakterizadon fare de Bernhard Riemann (Rimano) de la F-funkcio per la diferenciala ekvacio kiun ĝi (verigas, kontentigas). Rimano montris, ke la dua-orda diferenciala ekvacio (en z) por F, ekzamenita en la kompleksa ebeno, povas esti priskribita (sur la Rimana sfero) per ĝiaj tri regulaj specialaĵoj: ke efike la tuta algoritma flanko de la teorio estis konsekvenco de bazaj faktoj, kaj de la uzo de Möbius-aj transformoj kiel geometria simetria grupo.

Tiuj kazoj, kies solvoj estas algebraj funkcioj, estis trovita de H. A. Schwarz.

Poste, la hipergeometria serio estis ĝeneraligita al pluraj variabloj, ekzemple fare de Paul Emile Appell; sed komparinda ĝenerala teorio dum longa tempo ne aperis. Multaj identoj estis trovitaj, kelkaj el kiuj estas rimarkindaj. Ĝeneraligo, la analogoj q-serio, nomitaj la baza hipergeometria serio, estis donita de Eduard Heine en la malfrua deknaŭa jarcento. Ĉi tie, la rilatumo de sinsekvaj termoj, anstataŭ esti racionala funkcio de n, estas konsiderata kiel racionala funkcio de $q^{n}$. Alia ĝeneraligo, la elipsa hipergeometria serio, estas tiu serio, en kiu la rilatumo de termoj estas elipsa funkcio (duoble perioda meromorfa funkcio) de n.

Dum la dudeka jarcento ĉi tio estis fruktodona areo de kombina matematiko, kun multaj ligoj al aliaj kampoj. Estas nombro da novaj difinoj de hipergeometria serio, fare de Aomoto, Israelo Gelfand kaj aliaj; kaj aplikoj ekzemple al la kombinatoriko de aranĝanta nombro da hiperebenoj en kompleksa N-spaco (vidu artikolon ordigo de hiperebenoj).

Hipergeometria serio povas esti ellaborita sur rimanaj simetriaj spacoj kaj duonsimplaj grupoj de Lie. Ilia graveco kaj rolo povas esti komprenitaj per speciala kazo: la hipergeometria serio ₂F₁ rilatas al la polinomoj de Legendre, kaj se uzata en la formo de sfera harmoniko, ĝi esprimas, iasenco, la simetriajn propraĵojn de la du-sfero aŭ ekvivalente la turnadojn donitajn de la grupo de Lie SO(3). Konkretaj prezentoj estas analogaj al la koeficientoj de Clebsch-Gordan.

Referencoj

• Ĉapitro 13. - $\,_{1}F_{1}$ kaj $\,_{2}F_{0}$
• Ĉapitro 15. - $\,_{2}F_{1}$
• (Parto 1 traktas hipergeometriajn funkciojn sur Lie-grupoj.)