Triangulo de Pascal

En matematiko, la triangulo de Pascal estas triangula tabelo de nombroj. En la supra vertico kaj laŭ la flankaj lateroj estas skribitaj unuoj. Ĉiu alia nombro estas la sumo de la du nombroj, skribitaj super ĝi. La triangulo estis nomita honore de Blaise Pascal. La nombroj, el kiuj konsistas la triangulo, sendepende aperas en algebro, kombinatoriko, [probablo-teorio]], infinitezima kalkulo, nombroteorio.

En la triangulo de Pascal, ĉiu nombro estas la sumo de la du nombroj, skribitaj super ĝi

Formulado

Laŭ konvencio, oni numeras linion de $n=0$ (la pledj supra). Elementojn en ĉiu linio oni numeras de la plej maldekstra dekstren, kaj komencas de $k=0$. Kutime ĉiu sekva linio komenciĝas pli maldekstre ol la antaŭa je duono de la larĝo de elemento. La triangulo oni povas fari tiel: en la plej supra linio ($n=0$) ekzistas nur unu nenula elemento, kiu egalas 1. Ĉiu alia elemento estas la sumo de la supra maldekstra kaj supra dekstra elementoj, se iu el tiu du ne ekzistas, do ĝi egalas konvencie 0. Do la unua kaj la lasta elementojn ĉiu linio ĉiam egalas 0.

La $k$-a elemento de la $n$-a linio oni skribas kiel ${\tbinom {n}{k}}$. Ekzemple, la plej supra elemento estas ${\tbinom {0}{0}}=1$. Do oni povas skribi:

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$, $\forall n,k\in Z:n>0,0\leqslant k\leqslant n$.

(Oni povas konvencii, ke ${\tbinom {n}{k}}=0$, se $k\leqslant 0$ aŭ $k\geqslant n$, kaj tiel la rikura formulo ĝustas por ĉiu entjera $k$).

Historio

La triangulo de Yang Hui en verko de Zhu Shijie, 1303

La triangulon aperis multe pli antaŭe ol la tempo de Pascal.

Laŭ postaj komentarioj, la triangulon kaj la rikuran formulon por ĝia farado, ${\tbinom {n}{r}}={\tbinom {n-1}{r}}+{\tbinom {n-1}{r-1}}$, sciis la hinda matematikisto Pingala en aŭ antaŭ la 2-a jarcento a.K.. Post verkoj de Pingala mem restis nur fragmentoj, sed priskribo de la formulo konserviĝis en komentoj de Varāhamihira (ĉirkaŭ 505), kaj pli detala en komentoj de Halayudha (ĉirkaŭ 975). Halayudha ankaŭ menciis malklare “la ŝtuparon de la monto Meru”, doninte la unuan konserviĝintan priskribon de la triangulo. Ĉirkaŭ 850, la ĝajna matematikisto Mahāvīra donis alian, nerikuran formulon de la binomaj koeficientoj, ekvivalenta al la nuntempa ${\tbinom {n}{r}}={\tfrac {n!}{r!(n-r)!}}$. En la 1068 Bhattotpala egaligas ambaŭ formulojn.

En Irano la triangulon esploris Al-Karaji (953–1029) kaj poste la fama poeto kaj matematikisto Omar Ĥajam (1048–1131), do en Irano oni ankaŭ nomas ĝin la triangulo de Ĥajam.

La triangulo estis konata en Ĉinio en komenco de la 11-a jarcento el verko de la ĉina matematikisto Jia Xian (ĉine: 贾宪) (1010–1070). En la 13-a jarcento la triangulon prezentis Yang Hui (ĉine: 杨辉) (1238–1298), do en Ĉinio oni nomas ĝin la triangulo de Yang Hui.

La versio de la triangulo fare de Blaise Pascal

En la okcidento, komence de la 14-a jarcento la binomajn koeficientojn kalkulis Levi ben Gershon. La triangulon lokis sur la frontispicon de sia libro Petrus Apianus (1495–1552) en 1527, tio estis la unua apero de la triangulo en Eŭropo. Michael Stifel publikigis parton de la triangulo (de la dua elemento ĝis la meza en ĉiu linio) en 1544, priskribinte ĝin kiel tabelo figurigaj nombroj. En Italio la triangulon de Pascal oni ankaŭ nomas la triangulo de Tartaglia honore de Niccolò Tartaglia, kiu publikigis ses liniojn de la triangulo en 1556. Ankaŭ Gerolamo Cardano en 1570 publikigis la triangulon kaj ambaŭ formulojn por ĝia farado.

“Traktaĵo pri triangulo aritmetika” (Traité du triangle arithmétique) fare de Pascal estas eldonita en 1665, post lia morto. Poste honore Pascal la triangulon nomis en 1708 Pierre Raymond de Montmort (“Table de M. Pascal pour les combinaisons” — france: “Tabelo de s-ro Pascal por kombinaĵoj”), kaj en 1730 Abraham de Moivre (“Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM” — latine: “Triangulo aritmetika de Pascal”).

Binomaj koeficientoj

Geometria bildigo de transformo el n-a potenco de binomo al polinomo (ĝis la kvara potenco)

La triangulo de Pascal determinas koeficientojn, kiuj aperas dum transformo el $n$-a potenco de binomo al polinomo. Ekzemple:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2}.$

La koeficientoj konsistigas la duan linion de la triangulo de Pascal.

Ĝenerale, por ajna entjera nenegativa potenco $n$ estas:

$(x+y)^{n}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n},$

kaj koeficientoj $a_{i}$ konsistigas la $n$-an linion de la triangulo de Pascal. Alivorte,

$a_{i}={n \choose i}.$

Estas formulo de Newton

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.$

Pruvo

Ni pruvu per indukto, ke nombroj, kiu aperas en la triangulo laŭ simpla regulo ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k-1}}+{\tbinom {n-1}{k}}$ estas tiuj koeficientoj.

La bazo de la indukto

Kiel bazo ni rigardu veran egalaĵon, ekzemple:

$(x+y)^{2}={\tbinom {2}{0}}x^{2}+{\tbinom {2}{1}}xy+{\tbinom {2}{2}}y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.$

La paso de la indukto

Se estas vere ke:

$(x+y)^{n-1}={\tbinom {n-1}{0}}x^{n-1}+{\tbinom {n-1}{1}}x^{n-2}y+{\tbinom {n-1}{2}}x^{n-3}y^{2}+\cdots +{\tbinom {n-1}{n-2}}xy^{n-2}+{\tbinom {n-1}{n-1}}y^{n-1}.$

Do

$(x+y)^{n}=(x+y)(x+y)^{n-1}=$

 

$=(x+y)\left({\tbinom {n-1}{0}}x^{n-1}+{\tbinom {n-1}{1}}x^{n-2}y+{\tbinom {n-1}{2}}x^{n-3}y^{2}+\cdots +{\tbinom {n-1}{n-2}}xy^{n-2}+{\tbinom {n-1}{n-1}}y^{n-1}\right)=$

 

$={\tbinom {n-1}{0}}x^{n}+{\tbinom {n-1}{1}}x^{n-1}y+{\tbinom {n-1}{2}}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{\tbinom {n-1}{n-2}}x^{2}y^{n-2}+{\tbinom {n-1}{n-1}}xy^{n-1}+$

$+{\tbinom {n-1}{0}}x^{n-1}y+{\tbinom {n-1}{1}}x^{n-2}y^{2}+{\tbinom {n-1}{2}}x^{n-3}y^{3}+\cdots +{\tbinom {n-1}{n-2}}xy^{n-1}+{\tbinom {n-1}{n-1}}y^{n}=$

 

$={\tbinom {n-1}{0}}x^{n}+\left({\tbinom {n-1}{1}}+{\tbinom {n-1}{0}}\right)x^{n-1}y+\left({\tbinom {n-1}{2}}+{\tbinom {n-1}{1}}\right)x^{n-2}y^{2}+\cdots +$

$+\left({\tbinom {n-1}{n-1}}+{\tbinom {n-1}{n-2}}\right)xy^{n-1}+{\tbinom {n-1}{n-1}}y^{n}.$

Sed

${\tbinom {n-1}{0}}={\tbinom {n}{0}}=1;$

${\tbinom {n-1}{1}}+{\tbinom {n-1}{0}}={\tbinom {n}{1}};$

${\tbinom {n-1}{2}}+{\tbinom {n-1}{1}}={\tbinom {n}{2}};$

$\vdots$

${\tbinom {n-1}{n-1}}+{\tbinom {n-1}{n-2}}={\tbinom {n}{n-1}};$

${\tbinom {n-1}{n-1}}={\tbinom {n}{n}}=1.$

Sekve,

$(x+y)^{n}={\tbinom {n}{0}}x^{n}+{\tbinom {n}{1}}x^{n-1}y+{\tbinom {n}{2}}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{\tbinom {n}{n-1}}xy^{n-1}+{\tbinom {n}{n}}y^{n}.$

Do, la nombroj de la triangulo de Pascal estas koeficientoj, kiuj aperas dum transformo el $n$-a potenco de binomo al polinomo.

Ni ricevos interesan konsekvencon, se egaligos ambaŭ variablojn $x$ kaj $y$ al 1:

$(1+1)^{n}={\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}+\cdots +{\tbinom {n}{n-1}}+{\tbinom {n}{n}}y^{n}.$

Do, la sumo de ĉiuj elementoj de la $n$-a linio de la triangulo de Pascal estas $2^{n}$.

Kombinaĵoj

La dua utila uzo de la triangulo de Pascal estas kalkulado de la kvanto de $k$-kombinaĵoj (ĉiu de amplekso $k$) de aro kun $n$ eroj (el $n$ po $k$). Tiun kvavton eblas kalkuli laŭ la formulo:

$C_{k}^{n}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

Estas nerikura formulo de elemento de la triangulo de Pascal.

Ecoj

Linioj

La sumoj de la elementoj de ĉiuj linioj

• La sumo de la elementoj de ĉiu linio estas duoble pli malgranda ol la sumo de la elementoj de la sekva linio. Ekzemple, la sumo de la linio 0 (la plej supra) estas 1, la linio 1 estas 2, la linio 2 — 4, kaj tiel plu. Tiel estas ĉar ĉiu elemento de linio estas adiciato por du elementoj de la sekva linio: dekstra kaj maldekstra. La sumo de ĉiuj elementoj de la $n$-a linio de la triangulo de Pascal estas $2^{n}$.

• La produtoj de la elementoj por ĉiuj linioj de la triangulo de Pascal konsistigas la sinsekvon A001142 en OEIS, kiu estas ligita kun la bazo de natura logaritmo, e. La elementon de la sinsekvo oni povas difini tiel:

$s_{n}=\prod _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=\prod _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}~,~n\geq 0.$

Do la proporcio inter du najbaraj elementoj de la sinsekvo estas:

${\frac {s_{n+1}}{s_{n}}}={\frac {(n+1)!^{(n+2)}\prod _{k=0}^{n+1}{k!^{-2}}}{n!^{(n+1)}\prod _{k=0}^{n}{k!^{-2}}}}={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}$

Kaj la proporcio inter tiuj proporcioj estas:

${\frac {(s_{n+1})(s_{n-1})}{(s_{n})^{2}}}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n},~n\geq 1.$

Sed dum malfinia kreskado de $n$ limeso de la dekstra parto de la lasta formulo estas $e$:

${\textit {e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

• La nombron pi oni povas trovi en la triangulo de Pascal danke al nefinia serio de Nilakantha.

$\pi =3+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\binom {2n+1}{1}}{{\binom {2n+1}{2}}{\binom {2n+2}{2}}}}$

• La sumo de la kvadratoj de ĉiuj elementoj en la linio $n$ estas la meza elemento de la linio $2n$:

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.$

Diagonaloj

Ni nomu diagonalo vicon de nombroj, paralela al unu el la flankaj lateroj de la triangulo. En la diagonaloj troviĝas figurigaj nombroj de respektiva simplaĵo:

• En la randaj diagonaloj troviĝas unuoj.

• En la duaj diagonaloj troviĝas naturaj nombroj laŭ ordo.

• En la triaj diagonaloj troviĝas triangulaj nombroj laŭ ordo.

• En la kvaraj diagonaloj troviĝas kvaredraj nombroj laŭ ordo.

• En la $k$-aj diagonaloj troviĝas figurigaj nombroj de $k$-dimensia regula simplaĵo laŭ ordo.

Kalkulado de linio aŭ diagonalo per si mem

Ekzistas simplaj algoritmoj por kalkuli ĉiujn elementoj en linio aŭ diagonalo sen kalkulado aliaj elementoj aŭ faktorialoj:

• Por kalkuli la $n$-an linion, kies elementoj estas ${\tbinom {n}{0}}$, ${\tbinom {n}{1}}$, ..., ${\tbinom {n}{n}}$, ni komencu de ${\tbinom {n}{0}}=1$. Ĉiujn aliajn elementojn ni sinsekve ricevu laŭ la formulo:

${n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.$

• Por kakuli la $n$-an diagonalon, paralelan al la dekstra latero, kies elementoj estas ${\tbinom {n}{0}}$, ${\tbinom {n+1}{1}}$, ${\tbinom {n+2}{2}}$, ..., ni denove komencu de ${\tbinom {n}{0}}=1$. La aliaj elementoj ni sinsekve ricevu laŭ la formulo:

${n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.$

La elementoj de la $n$-a diagonalo, paralela al la maldekstra latero, egalas al la respektivaj elementoj de $n$-a diagonalo, paralela al la dekstra latero.

Ecoj de la tuta triangulo

La unuaj 32 linioj de la triangulo de Pascal, neparaj nombroj havas nigran fonon

• La triangulo estas simetria rilate al la vertikala akso.

• Desegno, kiun oni ricevas, se kolorigas nur neparajn nombrojn en la triangulo de Pascal, tre similas al fraktalo, nomata la triangulo de Sierpinski. Ĝi similas des pli, ju pli multe da linioj oni konsideras. Por ĝeneraligi, oni povas kolorigi nombrojn diverskolore laŭ resto ĉe divido per 3, 4, k.t.p., kaj ricevi similajn rezultojn.

• Se la triangulon oni konsideras kiel grafeo, en kiu ĉiu vertico estas ligita reciproke kun tiuj, kies sumo ĝi estas, do nombro en ĉiu vertico estas la kvanto da plej mallongaj vojoj el la supra vertico ĝis la konsiderita vertico.

• Se oni movas ĉiujn liniojn de la triangulo, metante ĉiujn maldekstrajn (aŭ ĉiujn dekstrajn) randojn sur unu vertikala rekto, do la sumo de ĉiuj elementoj de la diagonala bendo (tiuj bendoj malsupre estas indikitaj per diversaj koloroj), kiu komenciĝas de la randa elemento de la $(n-1)$-a linio, estas $n$-a fibonaĉi-nombro: $F_{n}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\tbinom {n-k-1}{k}}$

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1

Citaĵo

	„ Ĝi estas tiom simpla, ke dekjarulo facile povas skribi ĝin, sed ĝi enhavas tiom neelĉerpeblajn trezorojn kaj ligilojn al multaj, ŝajne neniel ligitaj inter si flankoj de matematiko, ke ĝi, sendube, estas unu el la plej elegantaj nombraj tabeloj ” — Martin Gardner, “Mathematical Carnival”