Gradienta teoremo

En matematiko, la gradienta teoremo aŭ la fundamenta teoremo de kalkulo por kurbaj integraloj statas ke kurba integralo tra gradiento de iu skalara kampo egalas al diferenco inter valoroj de la originala skalara kampo je la finaj punktoj de la kurbo:

$\phi \left(\mathbf {q} \right)-\phi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L}\nabla \phi \cdot d\mathbf {r}$

Ĉiu senkirla vektora kampo povas esti esprimita kiel gradiento de iu skalara kampo, kaj tiel al ĝi la teoremo povas esti aplikita.

Ĝi estas ĝeneraligo de la fundamenta teoremo de kalkulo al ĉiu kurbo anstataŭ de nur parto de la reela linio.

La gradienta teoremo implicas ke kurba integralo tra senkirla vektora kampo estas sendependa de la vojo de la integralado.

En fiziko ĉi tiu teoremo estas unu el la manieroj de difinado de la konservativa forto. Se preni ke φ estas potencialo, do ĝia negativa gradiento - grad φ (la alia skribmaniero $-\nabla \phi$) estas konservativa forta kampo. Laboro farita per konservativaj fortoj ne dependas de la vojo je kiu moviĝas la objekto, sed nur de la finaj punktoj, kiel montras la pli supre donita ekvacio.

Pruvo

Estu L kurbo de punkto p al punkto q. Estu φ skalara kampo.

Laŭ teoremo de Stokes:

$\int _{\partial L}\phi =\int _{L}d\phi$

Pro tio ke $\partial L=\mathbf {q} -\mathbf {p}$:

$\phi \left(\mathbf {q} \right)-\phi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L}d\phi$

Elvolvante en karteziaj koordinatoj rezultas:

$d\phi =\sum _{i}{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}dx_{i}=\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)\phi \cdot \left(dx_{i}\right)=\nabla \phi \cdot d\mathbf {r}$