Resumo

PriskriboKleinBottle-Figure8-01.png	Figure-eight immersion of a Klein bottle into R3. Made with Mathematica. English: The "figure 8" immersion of the Klein bottle. Italiano: L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein. Русский: Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки
Dato	05/08/06
Fonto	Own drawing, Mathematica 5.1
Aŭtoro	Fropuff, Inductiveload
Permeso (Reuzo de la dosiero)	The original image was released into the public domain by Fropuff: Public domainPublic domainfalsefalse Ĉi tiu verko estis liberigita kiel publika havaĵo de ties aŭtoro, Fropuff. Tio aplikatas tutmonde. En iuj landoj tio povas esti laŭleĝe neebla; en tiu okazo: Fropuff donas al iu ajn la rajton uzi ĉi tiun verkon por iu ajn uzo, sen kondiĉoj, krom se tiuj kondiĉoj deviĝas per leĝo. The derived, redrawn, edited image was released into the public domain by Inductiveload: Public domainPublic domainfalsefalse Ĉi tiu verko estis liberigita kiel publika havaĵo de ties aŭtoro, Inductiveload. Tio aplikatas tutmonde. En iuj landoj tio povas esti laŭleĝe neebla; en tiu okazo: Inductiveload donas al iu ajn la rajton uzi ĉi tiun verkon por iu ajn uzo, sen kondiĉoj, krom se tiuj kondiĉoj deviĝas per leĝo.
Ceteraj versioj	For a cut-away version see Image:KleinBottle-Figure8-02.png.

File:KleinBottle-Figure8-01.svg estas vektora versio de ĉi tiu bildo. Ĝi estu uzata anstataŭ ĉi tiu rastruma bildo, se ĝi ne estas malpli bonkvalita. File:KleinBottle-Figure8-01.png → File:KleinBottle-Figure8-01.svg Pliajn informojn vidu ĉe Help:SVG. En aliaj lingvoj Alemannisch ∙ Bahasa Indonesia ∙ Bahasa Melayu ∙ British English ∙ català ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ eesti ∙ English ∙ español ∙ Esperanto ∙ euskara ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ hrvatski ∙ Ido ∙ italiano ∙ lietuvių ∙ magyar ∙ Nederlands ∙ norsk bokmål ∙ norsk nynorsk ∙ occitan ∙ Plattdüütsch ∙ polski ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ Scots ∙ sicilianu ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ suomi ∙ svenska ∙ Tiếng Việt ∙ Türkçe ∙ vèneto ∙ Ελληνικά ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ македонски ∙ нохчийн ∙ русский ∙ српски / srpski ∙ татарча/tatarça ∙ українська ∙ ქართული ∙ հայերեն ∙ বাংলা ∙ தமிழ் ∙ മലയാളം ∙ ไทย ∙ 한국어 ∙ 日本語 ∙ 简体中文 ∙ 繁體中文 ∙ עברית ∙ العربية ∙ فارسی ∙ +/−

 

Parameterization

This immersion of the Klein bottle into R³ is given by the following parameterization. Here the parameters u and v run from 0 to 2π and r is some fixed positive constant.

${\displaystyle x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u}$

${\displaystyle y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u}$

${\displaystyle z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v}$

Mathematica source

Klein8[r_:2] =
 Function[{u, v},
   {
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Cos[u],
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Sin[u],
       Sin[u/2]Sin[v] + Cos[u/2]Sin[2v]
   }
 ]

 ParametricPlot3D[Evaluate[Klein8[][u, v]], {u, 0, 2Pi}, {v, 0, 2Pi},
   PlotPoints -> 60, Boxed -> False, Axes -> False, ImageSize -> 800]

This image was then antialised with Chris Hill's code, made transparent around the surface and had stray pixels removed in an image editor.