Polinomo de Legendre estas unu el polinomoj, kiuj estas difinataj per formulo (Rodriguesa formo, reference al franca matematikisto Olinde Rodrigues ) :
P
n
=
1
2
n
n
!
d
n
d
x
n
(
x
2
−
1
)
n
(
n
=
0
,
1
,
…
)
{\displaystyle P_{n}={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,\ldots )}
aŭ en publika formo:
P
n
(
x
)
=
1
2
n
∑
i
=
0
[
n
2
]
(
−
1
)
i
(
n
i
)
(
2
n
−
2
i
n
)
x
n
−
2
i
.
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{i}{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.}
La ekvacio de Legendre estas la sekvanta:
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
y
d
x
]
+
n
(
n
+
1
)
y
=
0
{\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}]+n(n+1)y=0}
Polinomo de Legendre de grado n estas
P
n
{\displaystyle P_{n}}
n ), kiu estas solvo de la antaŭa ekvacio :
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
P
n
(
x
)
d
x
]
+
n
(
n
+
1
)
P
n
(
x
)
=
0
,
P
n
(
1
)
=
1.
{\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}P_{n}(x)}{{\textrm {d}}x}}]+n(n+1)P_{n}(x)=0,\qquad P_{n}(1)=1.}
Oni povas konsideri
P
n
=
P
n
(
0
,
0
)
{\displaystyle P_{n}=P_{n}^{(0,0)}}
P
n
(
α
,
β
)
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}
polinomon de Jacobi kun indico n ligita al parametroj α kaj β.
La ĉisupra ekvacio estas ligita al laplaca ekvacio
Δ
ψ
=
0
{\displaystyle \Delta \psi \ =\ 0}
sferaj koordinatoj ;
ekzemple pri elektrostatika problemo, kie la ŝarga denseco estas nula aŭ en vakuo.
Polinomoj de Legendre estas koeficientojn en serio de Maclaurin de funkcio
G
(
x
,
t
)
=
(
1
−
2
x
t
+
t
2
)
−
1
/
2
{\displaystyle G(x,t)=(1-2xt+t^{2})^{-1/2}}
do estas formulo:
G
(
x
,
t
)
=
(
1
−
2
x
t
+
t
2
)
−
1
/
2
=
∑
l
=
0
∞
P
l
(
x
)
t
l
{\displaystyle G(x,t)=(1-2xt+t^{2})^{-1/2}=\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(x)t^{l}}
rikura formulo :
P
n
+
1
(
x
)
=
2
n
+
1
n
+
1
x
P
n
(
x
)
−
n
n
+
1
P
n
−
1
(
x
)
(
n
=
1
,
2
,
…
)
{\displaystyle P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\ldots )}
orteco en intervalo [-1,1]:
⟨
P
m
,
P
n
⟩
=
∫
−
1
1
P
m
(
x
)
P
n
(
x
)
d
x
=
0
p
o
u
r
m
≠
n
{\displaystyle \langle P_{m},P_{n}\rangle =\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x=0\qquad \mathrm {pour} \qquad m\neq n}
n
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)\,}
0
1
{\displaystyle 1\,}
1
x
{\displaystyle x\,}
2
1
2
(
3
x
2
−
1
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,}
3
1
2
(
5
x
3
−
3
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,}
4
1
8
(
35
x
4
−
30
x
2
+
3
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,}
5
1
8
(
63
x
5
−
70
x
3
+
15
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,}
6
1
16
(
231
x
6
−
315
x
4
+
105
x
2
−
5
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,}
7
1
16
(
429
x
7
−
693
x
5
+
315
x
3
−
35
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,}
8
1
128
(
6435
x
8
−
12012
x
6
+
6930
x
4
−
1260
x
2
+
35
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,}
9
1
128
(
12155
x
9
−
25740
x
7
+
18018
x
5
−
4620
x
3
+
315
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,}
10
1
256
(
46189
x
10
−
109395
x
8
+
90090
x
6
−
30030
x
4
+
3465
x
2
−
63
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,}
![{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{i}{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f364d7ee325e013c20670d4fc8027db4b1a86a)
![{\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}]+n(n+1)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f5b87dd6a5ee6cf37a0ad050ad3e41486e2292)
![{\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}P_{n}(x)}{{\textrm {d}}x}}]+n(n+1)P_{n}(x)=0,\qquad P_{n}(1)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6372504bd938b74194ec324f36acb8e202ffa02d)
