Simetria ekvacio

Simetria ekvacio estas algebra ekvacio kiu havas formo:

$a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}=0$, por ĉia i estas $a_{n-i}=a_{i}$.

Ecoj

• Ĉia simetria ekvacio de $2n+1$ grado povas transformi al algebra ekvacio de grado ne plu ol $n$.
• Ekzistas formuloj por solvoj de simetria ekvacio eĉ 9 grado.
• Solvo ĉia simetria ekvacio de nepara grado estas nombro -1. Alinome $W(-1)=0$ kaj uzate teoremo pri resto de polinomo oni povas dividi per $x+1$, kaj kalkulis para simetria ekvacio.

Metodoj por solvi

Por solvi paran simetrian ekvacion

$a_{2m}x^{2m}+a_{2m-1}x^{2m-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0$

kun $a_{2m-k}=a_{k}$ kaj $a_{2m}\neq 0$ dividu ĝin per $x^{m}$. Grupante termojn rezultiĝas

$a_{2m}(x^{m}+x^{-m})+a_{2m-1}(x^{m-1}+x^{1-m})+\dots +a_{m+1}(x+x^{-1})+a_{m}=0$

Faru ŝanĝon de variablo per $y=x+x^{-1}$. Tiam esprimoj $x^{k}+x^{-k}$ povas esprimitaj kiel polinomoj de variablo y:

Uzante:

$(x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})=x^{n+1}+x^{-n-1}+x^{n-1}+x^{1-n}$

alinome:

$x^{n+1}+x^{-n-1}=(x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})-x^{n-1}-x^{1-n}$

Post ŝanĝo $y=x+x^{-1}$ ekvacio reduktas ĝis grado m:

$b_{m}y^{m}+b_{m-1}y^{m-1}+\dots +b_{1}y+b_{0}=0$.

Post trovo de radikoj de la polinomo de y sufiĉas solvi ekvaciojn $y=x+x^{-1}$ por ĉiuj trovitaj radikaj valoroj de y.

Ekzemploj

• Ekvacio $ax^{3}+bx^{2}+bx+a=0\quad$,kaj $a\neq 0$.
• Simetria ekvacio de 4 grado kutime nomiĝas kiel rea ekvacio.

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$ kie $\neq 0$