Kerno (teorio de kategorioj): Malsamoj inter versioj

En '''[[teorio de kategorioj]]''' kaj ĝiajties aplikoj al alia (branĉoj, aloj) de [[matematiko]], '''(kernoj, kernas)''' estas ĝeneraligo de la (kernoj, kernas) de [[Grupa homomorfio|grupaj homomorfioj]] kaj la (kernoj, kernas) de modulo- (modela teorio) (homomorfioj, homomorfias) kaj certa alia [[Kerno (algebro)|(kernoj, kernas) de algebro]]. Intuicie, la kerno de la [[strukturkonservanta transformo]] ''f'' : ''X'' → ''Y'' estas la "plej ĝenerala" strukturkonservanta transformo ''k'' : ''K'' → ''X'' kiu, kiam (verkis, komponita) kun ''f'', rendimenta nulo.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiuNotu, ke, kiu) kerno (-paroj, paras) kaj diferenco (-kernoj, kernas) (_aka_alinome duuma _equalisers_) iam juĝiestis juĝitaj laŭ la nomo "kerno"; dum rilatantarilatantaj, ĉi tiuj _aren_'tne estas sufiĉe la sama aĵoafero kaj estas ne diskutita en ĉi tiu artikolo.

Por ke difini kernokernon en la ĝenerala kategorio-teoria (senso, senco), <b>C</b> (bezonas, bezonoj) alnecesas havi [[Nula strukturkonservanta transformo|nulajnulajn strukturkonservantajstrukturkonservantajn transformojtransformojn]].

En (tiu, ke, kiu) (kesto, okazo)kazo, se <i>f</i> : <i>X</i> &rarr; <i>Y</i> estas ajna [[strukturkonservanta transformo]] en <b>C</b>, tiam kerno de <i>f</i> estas _equaliser_ de <i>f</i> kaj la nula strukturkonservanta transformo de <i>X</i> al <i>Y</i>.

En (simboloj, simbolas):

:_ker_ker(<i>f</i>) = _eq_eq(<i>f</i>, 0_{''_XY_XY''})

AlPor esti pli eksplicita, jena [[universala propraĵo]] povas esti uzita. Kerno de <i>f</i> estas (ĉiu,iu iu)ajn strukturkonservanta transformo <i>k</i> : <i>K</i> &rarr; <i>X</i> tia (tiu, ke, kiu):

* Donita (ĉiu,iu iu)ajn strukturkonservanta transformo <i>k</i>&prime; : <i>K</i>&prime; &rarr; <i>X</i> tia (tiu, ke, kiu) <i>f</i> <small>o</small> <i>k</i>&prime; estas la nula strukturkonservanta transformo, estas unika strukturkonservanta transformo <i>u</i> : <i>K</i>&prime; &rarr; <i>K</i> tia (tiu, ke, kiu) <i>k</i> <small>o</small> <i>u</i> = <i>k</i>'.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiuNotu, ke, kiu) en multaj [[Konkreta kategorio|(betono, konkreta)konkretaj]] ĉirkaŭtekstoj, unuoni devus referi alnomi la objektoobjekton <i>K</i> kiel la "kerno", iom olanstataŭ la strukturkonservanta transformo <i>k</i>.

En tiuj (situacioj, situacias), <i>K</i> devus esti [[subaro]] de <i>X</i>, kaj (tiu, ke, kiu) devus esti sufiĉa al rekonstrui <i>k</i> kiel [[inkluziveca surĵeto]]; en la _nonconcrete_nekonkreta (kestokazo, okazo), en kontrastokontraste, ni (bezoni, bezono, necesa)bezonas la strukturkonservantastrukturkonservantan transformotransformon <i>k</i> al priskribi ''kiel'' <i>K</i> estas al esti interpretita kiel [[subobjekto]] de <i>X</i>. Ĉiukaze, unuoni povas montri (tiu, ke, kiu) ''k'' estas ĉiam _monomorphism_ (en la kategoria (senso, senco) de la vorto). Unu (majo,Oni povas) preferi al (opinii, pensi) dekonsideri la kernokernon kiel la paroparon (<i>K</i>,<i>k</i>) iom olanstataŭ kiel simple <i>K</i> aŭ <i>k</i> sola.

Ne ĉiu strukturkonservanta transformo (bezonas, bezonoj) al havi kernokernon, sed se ĝi farashavas, tiam ĉiuj ĝiaĝiaj (kernoj, kernas) estas izomorfiaizomorfiaj en forta (senso, senco): se ''k'' : ''K'' &rarr; ''X'' kaj ''l'' : ''L'' &rarr; ''X'' estas (kernoj, kernas) de ''f'' : ''X'' &rarr; ''Y'', tiam tie ekzistas unika [[izomorfio]] &phi; : ''K'' &rarr; ''L'' tia (tiu, ke, kiu) ''l'' o &phi; = ''k''.

== (Ekzemploj, Ekzemplas) ==

(Kernoj, Kernas) estas familiarafamiliaraj en multaj (kategorioj, kategorias) de [[abstrakta algebro]], kiel la kategorio de grupoj aŭ la kategorio de ((maldekstre, restis)) [[Modulo (matematiko)|(moduloj, modulas)]] super (fiksis, neŝanĝebligita) [[Ringo (algebro)|ringo]] (inkluzivantaj [[Vektora spaco|vektoraj spacoj]] super invarianto[[Korpo (algebro)|korpo]]).

AlPor esti eksplicita, se <i>f</i> : <i>X</i> &rarr; <i>Y</i> estas [[homomorfio]] en unu deel ĉi tiuj (kategorioj, kategorias), kaj <i>K</i> estas ĝia [[Kerno (algebro)|kerno en la kutima algebra (senso, senco)]], tiam <i>K</i> estas [[subalgebro]] de <i>X</i> kaj la inkluziveca homomorfio de <i>K</i> al <i>X</i> estas kerno en la kategoria (senso, senco).

(Tononomo, Noto, Noti) (tiuNotu, ke, kiu) en la kategorio de [[Monoido|(monoidoj, monoidas)]], kategorio-teoriateoriaj (kernoj, kernas)ekzistas ekzisti (justa, ĵus)nur kiel por (grupoj, grupas), sed ĉi tiuj (kernoj, kernas)ne don'tportas (porto,sufiĉan porti) sufiĉa informoinformon por algebraalgebraj (celoj, celas).

Pro tio, la nocio de kerno studisstudita en monoida teorio estas malmulte malsama.

Male, en la kategorio de [[Ringo (algebro)|(ringoj, ringas, sonoras)]], estas ne (kernoj, kernas) en la kategorio-teoria (senso, senco); ja, ĉi tiu kategorio ne (eĉ, ebena, para)ne havihavas nulajnulajn strukturkonservantajstrukturkonservantajn transformojtransformojn.

Tamen, estas ankoraŭ nocio de kerno studisstudita en ringa teorio.

VidiVidu la artikolon '''[[Interrilato al algebraalgebraj (kernoj, kernas)]]''' pli sube por la rezolucio de ĉi tiu paradokso.

''Ni havihavas multe da algebraalgebraj (ekzemploj, ekzemplas); nun ni devus doni (ekzemploj, ekzemplas)ekzemplojn de (kernoj, kernas) en (kategorioj, kategorias) de [[topologio]] kaj [[funkcionala analitiko]].''

== Rilato al aliaaliaj kategoriakategoriaj (konceptoj, konceptas) ==

La duala koncepto al (tiu, ke, kiu) de kerno estas (tiu, ke, kiu) de [[kunnukleo]].

Kiel menciismenciite pli supre, kerno estas tipo de duuma _equaliser_, aŭ diferenca kerno.

AlPor esti specifa, la _equaliser_ de la strukturkonservantaj transformoj <i>f</i> kaj <i>g</i> estas la kerno de la [[Operacioj per nombroj|diferenco]] <i>g</i> &minus; <i>f</i>.

En (simboloj, simbolas):

:_eq_eq (<i>f</i>,<i>g</i>) = _ker_ker (<i>g</i> &minus; <i>f</i>).

Ĝi estasEstas pro ĉi tiu fakto (tiu, ke, kiu) duumaduumaj _equalisers_ estas (nomita, vokis)nomitaj "diferenco (-kernoj, kernas)", (eĉ, ebena, para) en ne-_preadditive_ (kategorioj, kategorias) kie strukturkonservantaj transformoj ne povas esti subtrahitasubtrahitaj.

Ĉiu kerno, ŝati (ĉiu,kiel iu) ajn alia _equaliser_, estas _monomorphism_.

Male, _monomorphism_ estas (nomita, vokis) ''[[Normala strukturkonservanta transformo|normala]]'' se ĝi estas la kerno de iu strukturkonservanta transformo.

Kategorio estas (nomita, vokis) ''normala'' se ĉiu _monomorphism_ estas normala.

Abelaj kategorioj, en apartaaparte, estas ĉiam normalanormalaj.

En ĉi tiu situacio, la kerno de la [[kunnukleo]] de (ĉiu,iu iu)ajn strukturkonservanta transformo (kiu ĉiam ekzistas en abela kategorio) (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster almontriĝas esti la [[Bildo (teorio de kategorioj)|bildo]] de (tiu, ke, kiu) strukturkonservanta transformo; en (simboloj, simbolas):

:_im_im <i>f</i> = _ker_ker _coker_coker <i>f</i> (en abela kategorio)

Kiam <i>m</i> estas _monomorphism_, ĝi devas esti ĝia posedi bildo; tial, ne nur estas abelaj kategorioj normalanormalaj, tiel ke ĉiu _monomorphism_ estas kerno, sed ni ankaŭ sciiscias de ''kiu'' strukturkonservanta transformo la _monomorphism_ estas kerno de, al sprito, ĝia kunnukleo.

En (simboloj, simbolas):

:<i>m</i> = _ker_ker (_coker_coker <i>m</i>) (por _monomorphisms_ en abela kategorio)

== Interrilato al algebraalgebraj (kernoj, kernas) ==

[[Universala algebro]] difinas nocionocion de kerno por (homomorfioj, homomorfias) inter du [[Algebra strukturo|algebraj strukturoj]] de la sama speco.

Ĉi tiu koncepto de kerno (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) kiel malproksima la donita homomorfio estas de estanteesti [[Disĵeta|(disĵeta, enjekcia)]].

Estas iu parte kovri inter ĉi tiu algebra nocio kaj la kategoria nocio de kerno ekdeĉar ambaŭ ĝeneraligiĝeneraligas la situaciosituacion de (grupoj, grupas) kaj (moduloj, modulas) menciita pli supre.

En ĝeneralaĝeneralo, tamen, la universala-algebra nocio de kerno estas pli ŝatikiel la kategorio-teoria koncepto de kerna paro.

En apartaAparte, kerno (-paroj, paras) povas kutimi interpreti (kernoj, kernas) en monoida teorio aŭ ringa teorio en kategorio-teoriateoriaj (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas).