En [[lineara algebro]], [[funkcionala analitiko]] kaj rilatantaj areoj de [[matematiko]], '''normo''' estas [[funkcio (matematiko)|funkcio]] kiu asignas pozitivan ''longo'' aŭ ''amplekso'' al ĉiu [[vektoro]]j en [[vektora spaco]], escepte la nula vektoro. '''Duonnormo''' estas simila funkcio, al kiu permesitaestas alpermesite asigni nulanulan longolongon al iuiuj ne -nulo (nulaj vektoroj , vektoras). ▼{{polurinda movu|Normo (matematiko)}}
▲En [[lineara algebro]], [[funkcionala analitiko]] kaj rilatantaj areoj de [[matematiko]], '''normo''' estas [[funkcio (matematiko)|funkcio]] kiu asignas pozitivan ''longo'' aŭ ''amplekso'' al ĉiu [[vektoro]]j en [[vektora spaco]], escepte la nula vektoro. '''Duonnormo''' estas simila funkcio, al kiu permesita al asigni nula longo al iu ne-nulo (vektoroj, vektoras).
Simpla ekzemplo estas la 2-dimensia [[eŭklida ebeno]] '''R'''<sup>2</sup> kun la eŭklida normo. Eroj en ĉi tiu vektora spaco (e.g., (3,7) ) estas kutime desegnitadesegnitaj kiel sagoj en 2-dimensia [[karteziaj koordinatoj]] startanta je la fonto (0,0). La eŭklida normo asignas al ĉiu vektoro la longon de ĝia sago.
Vektora spaco kun normo estas [[normigita vektora spaco]]. Simile, vektora spaco kun duonnormo estas [[duonnormita vektora spaco]].
==Difino==
Por donita [[vektora spaco]] ''V'' super [[subkorpo]] '''F''' de la [[kompleksa nombro|kompleksaj nombroj]] kiel la kompleksaj nombroj mem aŭ la [[reela nombro|reela nombroj]], '''duonnormo sur''' sur ''V'' estas [[funkcio (matematiko)|funkcio]] ''p'':''V''→'''R'''; ''x''→ ''p''(''x'') kun jenaj propraĵoj:
Por ĉiuj ''a'' en ''F'' kaj ĉiuj '''u''' kaj '''v''' en ''V'',
==Ekzemploj==
[[Dosiero:Vector norms.png|thumb|300px|[[Unuobla cirklo|Unuoblaj cirkloj]] en malsamaj normoj]] ▼* La ''bagatela duonnormo'', ''p''(''x'') = 0 por ĉiuj ''x'' en ''V''.
* La [[absoluta valoro]] estas normo sur la reelaj nombroj.
===Taksia normo aŭ Manhatana normo===
''Ĉefa artikola [[{{Ĉefartikolo|Taksia geometrio]]''}}
:<math>\|x\|_1 := \sum_{i=1}^{n} |x_i|.</math>
===Malfinia normo aŭ maksimuma normo===
{{ĈefartikoĈefartikolo|maksimumaMaksimuma normo}}
:<math>\|x\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).</math>
== Propraĵoj ==
La koncepto de [[unuobla cirklo]] (la aro de ĉiuj (vektoroj , vektoras) de normo 1) estas malsama en malsama (normoj , normas): por la 1-normo la unuobla cirklo en '''R'''<sup>2</sup> estas [[ romboidokvadrato (geometrio)|kvadrato]], por la 2-normo ( Eŭklidaeŭklida normo) ĝi estas la konata unuobla [[cirklo]], dum por la malfinia norma ĝi estas [[ Kvadratokvadrato (geometrio)|kvadrato]] . Vidi lased akompanantaalie ilustraĵoturnita. ▼▲[[Dosiero:Vector norms.png|thumb|300px|[[Unuobla cirklo|Unuoblaj cirkloj]] en malsamaj normoj]]
Du (normoj , normas) ||·||<sub>1</sub> kaj ||·||<sub>2</sub> sur vektora spaco ''V'' estas (nomita, vokis) '' ekvivalentoekvivalentaj'' se tie ekzisti pozitivaj reelaj nombroj ''C'' kaj ''D'' tia (tiu,tiaj ke , kiu)▼▲La koncepto de [[unuobla cirklo]] (la aro de ĉiuj (vektoroj, vektoras) de normo 1) estas malsama en malsama (normoj, normas): por la 1-normo la unuobla cirklo en '''R'''<sup>2</sup> estas [[romboido]], por la 2-normo (Eŭklida normo) ĝi estas la konata unuobla [[cirklo]], dum por la malfinia norma ĝi estas [[Kvadrato (geometrio)|kvadrato]]. Vidi la akompananta ilustraĵo.
En (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la vektora spaco, la duonnormo difinas [[topologio]] sur la spaco, kaj ĉi tiu estas [[Hausdorff-a spaco|Hausdorff-a]] topologio precize kiam la duonnormo povas (distingi, diferencigi) inter klara (vektoroj, vektoras), kiu estas denove ekvivalento al la duonnormo estante normo.
▲Du (normoj, normas) ||·||<sub>1</sub> kaj ||·||<sub>2</sub> sur vektora spaco ''V'' estas (nomita, vokis) ''ekvivalento'' se tie ekzisti pozitivaj reelaj nombroj ''C'' kaj ''D'' tia (tiu, ke, kiu)
:<math>C\|x\|_1\leq\|x\|_2\leq D\|x\|_1</math>
por ĉiujĉiu ''x'' en ''V''. Sur finiafinie dimensia vektora spaco ĉiuj (normoj, normas) estas ekvivalentoekvivalentaj.
Ĉiu (duone)-normoduonenormo estas [[sublineara funkcio]], kiukio (implicas , enhavas) (tiu, ke , kiu) ĉiu normo estas [[konveksa funkcio]]. Kiel rezulto, trovantatrovigo de [[malloka optimumo ]] de normo-bazita (empiria, objektiva)[[objekta funkcio ]] estas ofte akordiĝema. ▼Ekvivalento (normoj, normas) difini la sama (komprenaĵoj, nocioj, nocias) de kontunueco kaj konverĝo kaj ne (bezoni, bezono, necesa) al esti (distingita, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) por plej (celoj, celas). Al esti pli preciza la uniforma strukturo difinis per ekvivalento (normoj, normas) sur la vektora spaco estas unuforme izomorfia.
DonitaPor donita finia familioaro de (duonnormoj , duonnormas) ''p''<sub>'' mii''</sub> sur vektora spaco la (sumo , sumi)▼▲Ĉiu (duone)-normo estas [[sublineara funkcio]], kiu (implicas, enhavas) (tiu, ke, kiu) ĉiu normo estas [[konveksa funkcio]]. Kiel rezulto, trovanta malloka optimumo de normo-bazita (empiria, objektiva) funkcio estas ofte akordiĝema.
▲Donita finia familio de (duonnormoj, duonnormas) ''p''<sub>''mi''</sub> sur vektora spaco la (sumo, sumi)
:<math>p(x):=\sum_{i=0}^n p_i(x)</math>
estas denove duonnormo.
== Absolute konveksa kaj (absorbanta, kaperanta, sorbanta) aroj ==
(Duonnormoj, Duonnormas) estas proksime rilatanta al absolute konveksa kaj (absorbanta, kaperanta, sorbanta) aroj. Estu ''p'' esti duonnormo sur vektora spaco ''V'', tiam por (ĉiu, iu) skalaro α la aroj {''x'' : ''p''(''x'') < α} kaj {''x'' : ''p''(''x'') ≤ α} estas (absorbanta, kaperanta, sorbanta) kaj absolute konveksa. En normigita vektora spaco la aro {''x'' : ''p''(''x'') ≤ 1} estas (nomita, vokis) [[unuobla pilko]].
Male al ĉiu (absorbanta, kaperanta, sorbanta) kaj absolute konveksa subaro ''A'' de ''V'' korespondas duonnormo ''p'' (nomita, vokis) la '''kalibro''' de ''A'', difinis kiel
:''p''(''x'') := [[Preciza malsupra rando|_inf_]]{α : α > 0, ''x'' ∈ α ''A''}
kun la propraĵo (tiu, ke, kiu)
:{''x'' : ''p''(''x'') < 1} ⊆ ''A'' ⊆ {''x'' : ''p''(''x'') ≤ 1}.
[[Loke konveksa topologia vektora spaco]] havas loka bazo konsistanta de absolute konveksa kaj (absorbanta, kaperanta, sorbanta) aroj. Komuna maniero al konstrui tia bazo estas al uzi _familiy_ de (duonnormoj, duonnormas). Tipe ĉi tiu familio estas malfinio, kaj estas sufiĉa (duonnormoj, duonnormas) al (distingi, diferencigi) inter eroj de la vektora spaco, kreanta (Hausdorff-a spaco, Spaco de Hausdorff).
== Vidu ankaŭ jenon: ==
*ena (produkto, produto), vektora multipliko kiu konkludas normo
*rilato de (normoj, normas) kaj (metrikoj, metrikas) - traduka invarianto kaj homogena metriko povas kutimi difini normo
*[[normigita vektora spaco]]
[[Kategorio:Lineara algebro]]
[[en:Norm (mathematics)]]
[[fr:Norme (mathématiques)]]
[[he:נורמה (מתמטיקה)]]
[[it:Norma (geometria)]]
[[ja:ノルム]]
[[ko:노름 (수학)]]
[[pl:Norma (matematyka)]]
[[pt:Norma (matemática)]]
[[ru:Норма (математика)]]
[[sv:Norm (matematik)]]
| 