Teorio de kategorioj: Malsamoj inter versioj

[nekontrolita versio][nekontrolita versio]
Enhavo forigita Enhavo aldonita
changing it interwiki
Neniu resumo de redakto
Linio 3:
La '''Teorio de kategorioj''' estas moderna koncepto kiu aperis en la jaroj 1940-aj en la artikoloj de [[Samuel Eilenberg]] kaj [[Saunders MAC LANE]]. Plej simple esprimite, ĝi estas ĝenerala teorio de strukturoj kaj sistemoj de strukturoj. Fakte, oni povas diri ke la teorio de kategorioj ne estas aparta matematika fako, sed ilo kiu utilas en diversaj matematikaj fakoj, aŭ lingvo per kiu oni povas diskuti strukturojn kiuj aperas en diversaj fakoj.
 
La bazaj nocioj de la teorio estas simplaj. Kategorio konsistas el du specoj: ''objektoj'' kaj ''sagoj'' inter tiuj objektoj. Grave, kategorio ankaŭ bezonas surhavi tri operaciojn: ''fontoperacio'' mallongita al '''fon''', ''kofontoperacio'' (aŭ ''celoperacio''), mallongigita al '''kof''', kaj ''komponoperacio'', skribite °. '''fon''' estas funkcio de la sagoj el kategorio al la objektoj el la sama kategorio, kiu donas la komencon de ĉiu sago. Simile, '''kof''' donas la finon de ĉiu sago. La komponoperacio estas duonfunkcio (tio estas, funkcio kiu eble ne havas valorojn ĉe tute sia difinkorpo) de paroj da sagoj al sagoj. Ĝi donas la signifon (laŭekziste) de segosago sekve alia segosago. ExistasNe neekzistas signifonsignifo de tia kunmetaĵo se la kofonto de la unua segosago ne egalas la fonto de la dua. (Oni diras ke, la sagojnsagoj 'ne linaslinias') Ĉe ĉi tio kazo, la komponoperacio devas havi nenioneniun valorovaloron. Kategorio devas ankauankaŭ havishavi la jenajn ecojn:
# Ĉiu objectoobjekto C havas ''identsagon'' (ofte skribita 1<sub>C</sub>) tia, ke 1<sub>C</sub> &deg; f = f = f &deg; 1<sub>C</sub> ĉe ĉiuj segojsagoj f.
# La komponoperacio estas ''asocieca'': (f &deg; g) &deg; h = f &deg; (g &deg; h) ĉe sagoj f, g, h.
# '''fon'''(f &deg; g) = g kaj '''kof'''(f &deg; g) = f. Klare ĝi pravas se oni komprenas ke, la cela signifo ke f &deg; g estas 'f poste de g'.
Por ilustri, vi povas imagi la objektojn esti ĉiuj aroj kaj la sagojn esti ĉiuj funkcioj inter la aroj. La komponoperacio en ĉi tietiu afero estas ordinara funkcia komponado. Ĝi estas ''konkreta kategorio'' ĉar la objectojobjektoj estas iuj aroj (eble kun aldonita strukturo), la segojsagoj estas iuj funkcioj, kaj la komponoperacio estas nur funkcia komponado. Aliaj ekzemploj de konkretaj kategorioj estas la kategorio de grupoj kaj homomorfioj, la kategorio de topologioj kaj kontinuaj funckiojfunkcioj, k.s. Ankaŭ ekzistas pluraj kategorioj kiukiuj ne estas konkretakonkretaj; ĉi tiuj ''abstraktaabstraktaj kategoriokategorioj'' ofte okazas el konstruadoj el aliaj kategorioj. (ekz. konstruadoj de mala kategorio, tranĉa kategorio, kategorioj de monadalgebroj kaj koalgebroj).
 
Kiam oni esprimas strukturojn en la lingvo de kategorioj, oni gajnas ne nur la eblecon studi la ecojn de la strukturoj, sed ankaŭ la eblecon studi la tipojn de strukturoj. Por tio estas la koncepto ''funkturo''. Funkturo simple estas rilato inter du kategorioj, denove plenumante kelkajn evidentajn ecojn pri sia efiko al la objektoj kaj sagoj en la fonta kategorio.