Vikipedio

Dulineara formo: Malsamoj inter versioj

Browse history interactively
[nekontrolita versio][nekontrolita versio]
← Iru al antaŭa ŝanĝoIru al sekvanta ŝanĝo →
Enhavo forigita Enhavo aldonita
VidaVikiteksto
e Dulineara funkcio alinomita al Dulineara formo, alidirektilo lasita
Neniu resumo de redakto
Linio 1:
En [[matematiko]], '''dulineara funkcioformo''' sur [[vektora spaco]] ''V'' estas duargumenta [[funkcio (matematiko)|funkcio]] ''B(u, v)'', kie ''u'' kaj ''v'' estas [[vektoro]]j de la spaco ''V'', kies valoro estas [[nombro]] el [[korpo (algebro)|kampo]] ''F'':
 
: ''B: V × V → F''
Linio 11:
por ĉiuj vektoroj ''u, u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, v, v<sub>1</sub>, v<sub>2</sub>'' kaj ĉiu nombro ''k''.
 
La eroj de la vektoroj, la valoro de la funkcioformo kaj la nombro ''k'' povas esti [[reela nombro|reelaj]] aŭ [[kompleksa nombro|kompleksaj]].
 
Ĉiu dulineara funkcioformo sur ''n''-dimensia vektora spaco povas esti esprimita kiel
 
:<math>B(u, v) = x^{T}Ay = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i y_j </math>
Linio 23:
Se la konsiderata vektora spaco estas spaco de ''n''-opoj de nombroj, ''u'' kaj ''v'' povas jam esti kolumnaj vektoroj, kaj povas esti ke ''x'' estas tute la samo kiel ''u'' kaj ''y'' estas tute la samo kiel ''v''. Sed se estas konsiderata ekzemple [[geometrio|geometria]] spaco tiam vektoro ne estas ĝuste opo de nombroj, kaj necesas aparte diri per vektoro kaj ĝi prezento kiel opo (kolumno) de nombroj en donita bazo. Ankaŭ, eĉ se vektoro estas nur opo de nombroj, eblas ŝanĝi bazon (ŝanĝi [[koordinatosistemo]]n), kaj tiam vektoro kaj ĝia prezento estas malsamaj; vidu sube pli detale.
 
Se ''V'' estas [[finidimensia]] tiam, en al iu [[bazo (lineara algebro)|bazo]] en''V'', dulineara funkcioformo estas [[degenera]] [[se kaj nur se]] la [[determinanto]] de la asociita matrico estas nulo. Ankaŭ, nedegenera formo estas tiu por kiu la asociita matrico estas [[nedegenera matrico|nedegenera]] ([[nesingulara matrico|nesingulara]]). La degenereco estas sendependa de la elektita bazo.
 
[[Seskvilineara formo]] estas simila al dulineara funkcioformo super [[kompleksa nombro|kompleksaj nombroj]], ĝi estas lineara je unu argumento sed estas [[konjugita lineara]] je la alia argumento.
 
== Ŝanĝo de bazo ==
Linio 46:
: ''B(u, v) = x<sup>T</sup> A y = (S x')<sup>T</sup> A (S y') = (x'<sup>T</sup> S<sup>T</sup>) A (S y') = x'<sup>T</sup> (S<sup>T</sup> A S) y' ''
 
Tiel la matrica prezento por la dulineara funkcioformo en bazo '' e' '' estas:
 
: ''A' =S<sup>T</sup> A S''
Linio 52:
== Refleksiveco kaj orteco ==
 
Dulineara funkcioformo
 
:''B'' : ''V'' × ''V'' → ''F''
Linio 60:
: ''B(u, v)=0'' se kaj nur se ''B(v, u)=0''
 
Refleksiveco permesas difini ortecon de du vektoroj: vektoroj ''u'' kaj ''v'' estas ''ortaj'' (''perpendikularaj'') kun respekto al la refleksiva dulineara funkcioformo se kaj nur se
 
: ''B(u, v)=0'' aŭ ''B(v, u)=0''
 
La radiko de dulineara funkcioformo estas la aro de ĉiuj vektoroj kiuj estas perpendikularaj al ĉiu la alia vektoro. Vektoro ''u'', kun matrica prezento ''x'', apartenas al la radiko de dulineara funkcioformo kun matrica prezento ''A'', se kaj nur se
 
: ''A x = 0'' aŭ ekvivalente ''x^{T} A=0''
 
La radiko estas ĉiam subspaco de ''V''. Ĝi estas bagatela (konsistas nur el la nula vektoro) se kaj nur se la matrico ''A'' estas nesingulara, aŭ ekvivalente se kaj nur se la dulineara funkcioformo estas nedegenera.
 
Estu ''W'' subspaco de ''V''. Tiam estu <math>W^{\perp}</math> subspaco konsistanta el vektoroj, tiaj ke ĉiu vektoro el <math>W^{\perp}</math> estas perpendikulara al ĉiu vektoro el ''W'':
Linio 74:
<math>W^{\perp}=\{v| B(v,w)=0\ \forall w\in W\}</math>
 
Kiam la dulineara funkcioformo estas nedegenera, la mapo <math>W\leftarrow W^{\perp}</math> estas [[dissurĵeto]], kaj la dimensio de <math>W^{\perp}</math> estas diferenco inter dimensio de ''V'' kaj dimensio de ''W''.
 
Eblas pruvi ke ''B'' estas refleksiva se kaj nur se minimume unu el la sekvaj kondiĉoj veraj:
 
* ''B(u, v) = B(v, u)'' por ĉiuj ''u'' kaj ''v'' en ''V'' ('''[[simetria dulineara funkcioformo]]''')
* ''B(u, u) = 0'' por ĉiu ''u'' en ''V'' ('''[[alterna formo]]''')
 
Linio 91:
Valoro de ''B'' povas esti pli ĝenerale ero de [[korpo (algebro)|kampo]] ''F'' de [[skalaro (matematiko)|skalaroj]] (ankaŭ reelaj kaj kompleksaj nombroj trafas ĉi tion). Se la [[karakterizo (algebro)|karakterizo]] de ''F'' ne egalas al 2 tiam estas vera ankaŭ la ree ke ĉiu deklivo-simetria formo estas alterna. Se, tamen, la karakterizo de ''F'' estas 2 tiam deklivo-simetria formo estas la samo kiel simetria formo kaj ne ĉiuj el ĉi tiuj estas alternaj.
 
Dulineara funkcioformo estas simetria se kaj nur se ĝia koordinata matrico estas [[simetria matrico]]. Dulineara funkcioformo estas deklivo-simetria se kaj nur se ĝia koordinata matrico estas [[deklivo-simetria matrico]]. Dulineara funkcioformo estas alterna se kaj nur se ĝia koordinata matrico estas deklivo-simetria kaj ĉiuj ĝiaj diagonalaj elementoj estas nuloj (kio sekvas de deklivo-simetrieco se karakterizo de ''F'' ne egalas al 2). La simetrico kaj deklivo-simetrieco estas sendependaj de la elektita bazo.
 
== Malsamaj spacoj ==
Linio 103:
== Normigitaj vektoraj spacoj ==
 
Dulineara funkcioformo sur [[normigita vektora spaco]] estas '''barita''', se ekzistas konstanto ''C'' tia ke por ĉiuj ''u'' kaj ''v'' en ''V''
 
: ''B(u, v) ≤ C ||u|| ||v||''
 
Dulineara funkcioformo sur normigita vektora spaco estas '''elipsa''', se ekzistas konstanto ''c'' tia ke por ĉiu ''u'' en ''V''
 
: ''B(u, u) ≥ c ||u||<sup>2</sup>''
 
Elipsa dulineara funkcioformo priskribas ''n''-dimensian [[elipsoido]]n en ''V'' per ekvacio ''B(u, u) = c'', vidu plu en [[koniko]] kaj [[kvadriko]].
 
Dulineara funkcioformo povas esti elipsa nur se ĝi estas nedegenera.
 
== Ekzemploj ==
 
* [[Skalara produto]] estas dulineara funkcioformo.
 
* Estu 3-dimensiaj kolumnaj vektoroj kaj estu matrico
Linio 126:
4 & -3 & -5 \end{bmatrix}</math>
 
Tiam estas dulineara funkcioformo:
 
: ''B(u, v) = u<sup>T</sup>Av''
 
* Estu [[malfinidimensia]] spaco de reelaj [[kontinua funkcio|kontinuaj]] en [[intervalo (matematiko)|intervalo]] [0, 1] funkcioj. Tiam estas dulineara funkcioformo:
 
:<math> B(f, g) = \int_0^1 f(x)g(x) \,dx</math>
Linio 146:
== Eksteraj ligiloj ==
 
{{el}} {{Planetmath|id=1612|titolo=Dulineara funkcioformo}}
 
[[it:Forma bilineare]]
Elŝutita el "https://eo.wikipedia.org/wiki/Dulineara_formo"