Surfaco: Malsamoj inter versioj

En [[matematiko]], aparteprecipe en [[geometrio]] [[topologio]], '''surfaco''' estas [[du-dimensia]] [[dukto (matematiko)|dukto]]. La plej familiarajkutimaj ekzemploj estas tiuj, kiuj estas randoj de solidaj objektoj en ordinara [[tri-dimensia eŭklida spaco]] '''''E'''³''. Estas ankaŭ pli ekzotikaj surfacoj, kiuj estas tiel torditaj, ke ili ne povas esti [[enigo|enigitaj]] en tri-dimensian spacon (termino ''enigo'' subkomprenas<!--signifas?-->, ke ne aperas sin-intersekcoj).

Surfaco povas esti difinita kaj konstruita kaj per la abstrakta ''apriora'' topologia difino donita pli sube, kaj kiel subaro de eŭklidaj spaco, kutime 3-dimensia '''''E'''³''. En [[historio de matematiko]], konsidero de surfacoj en '''''E'''³'' aperis pli frue.

Tio, ke surfaco estas du-dimensia, signifas, ke, ĉirkaŭ ĉiu punkto, estas ''koordinata fliko'', sur kiu du-dimensia [[koordinatsistemo]] estas difinita. Ekzemple, la surfaco de la [[Tero]] estas (ideale) du-dimensia [[sfero]], kaj [[latitudo]] kaj [[longitudo]] proviziprovizas koordinatojkoordinatojn sur ĝi ĉie esceptiekster je la [[internacia datlinio]] kaj je la [[poluso]]j, kie longitudo estas nedifinita. Ĉi tiu ekzemplo ilustras, ke ĝenerale ne eblas etendi iun unuajn koordinatan flikon al la tuta surfaco. Surfacoj, same kiel duktoj de ĉiuj dimensioj, estas kutime konstruitaj per kunig-flikado kune deda multaj koordinatsistemoj.

Surfacoj estas aplikataj en [[fiziko]], [[inĝenierarto|inĝenierado]], [[komputila grafiko]] kaj multaj aliaj disciplinojfakoj, unuaviceprecipe tiam, kiam ili prezentiprezentas la surfacojn de fizikaj objektoj. Ekzemple, enkoncerne al analizado de [[aerodinamiko|aerodinamikaj]] propraĵoj de iu objekto, necesas, konsideri fluon de aero laŭ ĝiaties surfaco, kajdum eno de la objekto plejofte ne gravas.

[[Sfero]] kaj rando de [[pluredro]] estas ekzemploj de surfacoj en geometrio. '''Glata surfaco''' estas surfaco, ĉe kiu ĉiu punkto de ĝi havas najbaraĵon [[glata izomorfio|glate izomorfian]] al iu malfermita aro en '''''E'''²''. Ĉi tio permesas aplikon de [[infinitezima kalkulo]] al la surfaco.

'''[[Kompleksa surfaco]]''' estas kompleksa 2-dimensia dukto kaj tiel reela [[4-dimensia dukto]],; do ĝi ne estas surfaco en la antaŭe priskribita senco.

| [[Dosiero:Sphere-wireframe.png|250px]] <br> Sfero povas esti difinita parametre- kielper parametroj jene <br> ''x = r sin θ cos φ'', <br> ''y = r sin θ sin φ'', <br> ''z = r cos θ'' <br> aŭ implice kieljene <br> ''x² + y² + z² - r² = 0''. <br> Eksplicita difino <br> ''z = (r² - x² - y²)^1/2'' <br> donas nur duonon de sfero.

'''Implice difinita surfaco''' estas [[situo (matematiko)|situo]] de [[radiko (matematiko)|nuloj]] de funkcio ''F'', alivorte tiaj ''(x, y, z)'', ke ''F(x, y, z)=0''. La funkcio ''F(x, y, z)'' estas de '''''R'''³'' al '''''R'''''. Se la funkcio ''F'' estas [[polinoma funkcio]] de 3 variabloj, la surfaco estas '''[[algebra surfaco]]'''. [[Grado de polinomo|Grado de la polinomo]] estas tiam '''grado de la surfaco'''. Algebra surfaco de grado 2 estas [[kvadriko]].

Povas okazi, ke implica surfaco ne havas geometrian formon, ĉar neniu punkto kontentigas la ekvacion. Ĉi tia surfaco estas nomata kiel [[imaginara surfaco]]. Ekzemple ekvacio

'''Parametre difinita surfaco''' estas [[bildo (matematiko)| bildo]] de kontinua [[injekto (matematiko)|injekta]] enĵeta funkcio de '''''R'''²'' al '''''R'''³''. Ekvivalente, povas esti donitaj tri funkcioj '''''R'''²'' al '''''R''''', kiuj priskribas la koordinatojn aparte:

'''Eksplicite difinita surfaco''' estas tiu, ĉe kiu eblas, skribi unu aleron el la variabloj ''x'', ''y'', ''z'' povas esti skribita kiel funkciofunkcion de du la aliajceteraj

Ĉi tiuj variantoj estas ĝenerale ekvivalentaj ,ĉar eblas fari [[ŝanĝo de koordinatoj|ŝanĝon de koordinatoj]] por trairi de unu varianto al la alia, tiel plu estas diskutata nur varianto ''z=f(x, y)''. Tamen sen ŝanĝo de koordinatoj trairi de unu varianto al la alia ne ĉiam eblas. Ekzemple ebeno ''2x+3y+z+1=0'' povas esti ekvivalente skribita kiel ''x=-(3y+z+1)/2'' aŭ ''y=-(2x+z+1)/3'' aŭ ''z=-2x-3y-1''. Sed ebeno ''z=2'' kaj duonsfero ''z=(r² - x² - y²)^1/2'' ne povas esti reskribitaj en formo ''x=f(y, z)'' aŭ ''y=f(x, z)''. Ebeno ''z=2x-1'' povas esti ekvivalente skribita kiel ''x=(z+1)/2'' , sed ne povas esti skribita en formo ''y=f(x, z)''.

Glata surfaco estas surfaco, kiu havas [[tanĝanto|tanĝantan]] ebenon en ĉiu punkto. La kondiĉoj de glateco estas donitaj pli sube.

* Implice difinita surfaco ''F(x, y, z)=0'' estas glata surfaco, se funkcio ''F(x, y, z)'' estas glata funkcio, kies [[gradiento (matematiko)|gradiento]] estas nenie nulo (''F'' havas [[kontinue diferencialebla|kontinuajn]] [[parta derivaĵo|partajn derivaĵojn]] je ''x'', ''y'', ''z'', kaj en ĉiu punkto almenaŭ unu elda ili estas ne nulo). Se la kondiĉo de ne nuliĝo de gradiento ne ĉie veras, tiam povas okazi [[specialaĵo]]j.

*:estas glata surfaco, se la funkciaj difinas [[reciproke unuvalora surĵeto|reciproke unuvaloran surĵeton]] inter ''(x, y, z)'' sur la surfaco kaj ''(u, v)'' kaj funkcioj ''X, Y, Z'' estas [[kontinue diferencialebla]]j kaj estas kontentigita kondiĉo de nedegenereco

* Eksplicite difinita surfaco ''z=f(x, y)'' estas glata surfaco, se la funkcio ''f''' estas [[kontinue diferencialebla]].

Plua postulo estas, ke la surfaco havu [[kurbeco]]n, por ĝi bazonatas ekzisto de la duaj derivaĵoj de funkcioj, kiuj difinas la surfacon.

Glataj surfacoj kun [[rimana metriko]] estas de fundamenta graveco en [[diferenciala geometrio]]. Rimana metriko donas al surfaco nociojn de [[geodezia kurbo]], [[distanco]], [[angulo]], [[areo]]. Ĝi ankaŭ donas la [[gaŭsa kurbeco|gaŭsan kurbecon]], kiu priskribas kiel liniita aŭ kurba la surfaco estas je ĉiu punkto. Gaŭsa kurbeco estas rigida, geometria propraĵo, kaj estas ne konservata per ĝeneralaj [[glata izomorfio|glataj izomorfioj]] de la surfaco. Tamen [[teoremo de Gauss-Bonnet]] por fermitaj surfacoj statas, ke integralo de la gaŭsa kurbeco ''K'' tra la tuta surfaco ''S'' estas difinita per la [[eŭlera karakterizo]]:

Alia maniero de konsidero de surfacoj en geometrio estas la uzo de la [[kompleksa nombro|kompleksa]] domajno. Kompleksa unu-dukto estas glata orientita surfaco, - ankaŭ nomata kiel [[rimana surfaco]]. Ĉiu kompleksa nesingulara [[algebra kurbo]] vidata kiel dukto de duoble pli multaj reelaj koordinatoj estas rimana surfaco.

Unu versio de la [[samformiga teoremo]] de [[Henri Poincaré]]) statas, ke ĉiu [[rimana metriko]] sur orientita fermita surfaco estas konforme ekvivalenta al esence unika metriko de [[konstanta kurbeco]]. Ĉi tio provizas deirpunkton por unu el manieroj de [[teorio de Teichmüller]], kiu provizas pli fajnan klasifikon de rimanaj surfacoj ol en topologio nur per eŭlera karakterizo.