Harmona serio: Malsamoj inter versioj
| [kontrolita revizio] | [kontrolita revizio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Xqbot (diskuto | kontribuoj) e roboto aldono de: pl:Szereg harmoniczny; cosmetic changes |
Neniu resumo de redakto |
||
Linio 2:
:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots</math>
Nomo devenas de sekvaj duontonoj de oscilanta kordo, kiuj estas proporcia al 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Ĉiuj elemento de serio estas [[Harmona meznombro]] de du antaŭaj nombroj.
=== Malkonverĝo de harmona serio ===
Harmona serio estas [[limeso|malkonverĝa]] - suba pruvo de tiu fakto devenas de [[Nikolao de Oresme]] kaj estas unu el gravaj sukcesoj de mezepoka matematiko.
:<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots=
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots></math>
:<math>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) +\dots=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\dots</math>
Ĉar sumo de nombroj en ĉiu krampo estas 1/2, vico de partaj sumoj de serio ne havas limeson.
==== Ĝeneraloj ====
Tiel nomata '''ĝenerala harmona serio'''
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b} </math>
estas malkonverĝa kiam <math>a \ne 0, b\in \mathbb{R}</math>
Oni povas pruvi<ref>pruvis [[Leonhard Euler|Euler]]</ref>, ke makkonverĝa estas ankaŭ serio de inversoj de [[primo]]j.
{{ĝermo-matematiko}}
| |||