Harmona serio: Malsamoj inter versioj
| [kontrolita revizio] | [kontrolita revizio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Neniu resumo de redakto |
Neniu resumo de redakto |
||
Linio 16:
Oni povas pruvi<ref>pruvis [[Leonhard Euler|Euler]]</ref>, ke makkonverĝa estas ankaŭ serio de inversoj de [[primo]]j.
==== Harmonaj nombroj ====
Sekvaj partaj sumoj de harmona serio
:<math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},</math>
tiel nomata [[harmona nombroj]], kreskas malrapide, ĉar ekzistas ekvacio:
: <math> \lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma</math>
kaj γ estas tiel nomata. [[konstanto de Euler]]. Tiu signifas, ke harmona serio kreskas same rapide kiel [[natura logaritmo]].
=== Harmona serio kun pli altaj gradoj ===
'''Harmona serio kun grado α''' havas aspekton:
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\frac{1}{4^{\alpha}}+\dots</math>
La serio estas [[konverĝo|konverĝa]] por α>1 kaj malkorverĝa alikaze. Se α povus esti [[kompleksa nombro]] kaj por ĉiu α kiam serio estas korverĝa kunigos ĝia sumo, tiel verkata funkcio estas funkcio ς de [[Bernhard Riemann|Riemann]]:
<math> \zeta(\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}</math>
Tiu funkcio estas grava en [[teorio de nombroj]]. Kaj kunigas kun ĝi fama [[hipotezo de Riemann]].
Ankaŭ '''Alterna harmona serio''' estas ankaŭ konverĝa, sed nur [[serio|kondiĉe]]
:<math>\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = \ln 2.</math>
Tiu rezultas ekzemple el disvolvo de funkcio [[natura logaritmo]] en [[serio de Taylor]].
<!-- Aneksprezentsugesto helpo : http://eo.wikipedia.org/wiki/Helpo:Referencoj kaj piednotoj -->
| |||