Kiel registrite je 20:16, 8 nov. 2008 redakti Alexbot (diskuto \| kontribuoj) 34 035 redaktoj e roboto aldono de: nl:Algemene lineaire groep ← Iru al antaŭa ŝanĝo		Kiel registrite je 13:18, 15 dec. 2009 redakti malfari MondalorBot (diskuto \| kontribuoj) 2 619 redaktoj e Roboto aldono de: ca:Grup lineal general; cosmetic changes Iru al sekvanta ŝanĝo →
Linio 1: En [[matematiko]], la '''ĝenerala lineara grupo''' de grado ''n'' super la [[Reela nombro\|reelaj nombroj]] estas la aro de ''n''~~×~~×''n'' [[Inversigebla matrico\|inversigeblaj matricoj]] de reelaj nombroj, kaj ankaŭ la operacio de ordinara [[matrica multipliko]]. Ili formas [[Grupo (algebro)\|grupon]], ĉar produto de du inversigeblaj matricoj estas denove inversigebla. Ĝi estas signifita per ''Gl''(''n'', '''R'''), aŭ ''Gl<sub>n</sub>''('''R'''). Pli ĝenerale, oni povas difini la ĝeneralan linearan grupon de grado ''n'' super ĉiu [[Korpo (algebro)\|kampo]] ''F'' (ekzemple la [[kompleksaj nombroj]]), aŭ eĉ ĉiu [[Ringo (algebro)\|ringo]] R (kiel la ringo de [[entjero]]j); ĝi estas simple la aro de ''n''~~×~~×''n'' [[Inversigebla matrico\|inversigeblaj matricoj]] kun elementoj de ''F'' (aŭ ''R''), denove kun ordinara matrica multipliko kiel la grupa operacio. La '''speciala lineara grupo''', skribita kiel ''SL''(''n'', ''F'') aŭ ''SL''(''n''), estas [[subgrupo]] de ''Gl''(''n'', ''F'') konsistanta el matricoj kun [[determinanto]] 1. Linio 8: La grupo ''Gl''(''n'', ''F'') kaj ĝia (subgrupoj, subgrupas) estas ofte (nomita, vokis) '''lineara (grupoj, grupas)''' aŭ '''matricaj grupoj'''. Ĉi tiuj (grupoj, grupas) estas grava en la teorio de [[Grupa prezento\|grupaj prezentoj]], kaj ankaŭ ekesti en la studi de spacaj [[Simetrio\|simetrioj ]]kaj simetrioj de vek[[Vektora spaco\|toraj spacoj e]]n ĝenerala, kaj ankaŭ la studi de (polinomoj, polinomas). Se ''n'' ~~≥~~≥ 2, tiam la grupo ''Gl''(''n'', ''F'') estas ne [[abela]]. ==Ĝenerala lineara grupo de vektora spaco== Se ''V'' estas [[vektora spaco]] super la kampo ''F'', tiam ni skribi Gl(''V'') aŭ _Aut_(''V'') por la grupo de ĉiuj [[Aŭtomorfio\|(aŭtomorfioj, aŭtomorfias)]] de ''V'', kio estas la aro de ĉiuj (dissurĵeta, bijekcia) [[Lineara transformo\|linearaj transformoj]] ''V'' ~~→~~→ ''V'', kaj ankaŭ (funkcionalo, funkcia) komponaĵo kiel grupa operacio. Se la dimensio de ''V'' estas ''n'', tiam Gl(''V'') kaj Gl(''n'', ''F'') estas [[Grupa izomorfio\|izomorfia]]. La izomorfio estas ne kanona; ĝi dependas sur elekto de [[Bazo (lineara algebro)\|bazo]] en ''V''. Iam bazo havas estas elektita, ĉiu aŭtomorfio de ''V'' povas esti (prezentita, prezentis) kiel (neŭtrigebla, inversigebla) ''n'' per ''n'' matrico, kiu _establishes_ la izomorfio. Linio 20: ===(Reala, Reela) (kesto, okazo)=== La ĝenerala lineara Gl(''n'','''R''') super la kampo de [[Reela nombro\|reelaj nombroj]] estas (reala, reela) (Mensogi, Kuŝi) grupo de dimensio ''n''<sup>2</sup>. Al vidi ĉi tiu, (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) la aro de ĉiuj ''n''~~×~~×''n'' (reala, reela) matricoj, ''M''<sub>''n''</sub>('''R'''), (formoj, formas) (reala, reela) vektora spaco de dimensio ''n''<sup>2</sup>. La subaro Gl(''n'','''R''') konsistas de tiuj matricoj kies [[determinanto]] estas ne-nulo. La determinanto estas [[Kontinua funkcio (topologio)\|kontinua]] ((ebena, para) [[polinomo]]) mapo, kaj de ĉi tie Gl(''n'','''R''') estas ne-malplena (malfermi, malfermita) subaro de ''M''<sub>''n''</sub>('''R''') kaj pro tia glata dukto de la sama dimensio. La (Mensogi, Kuŝi) algebro de Gl(''n'','''R''') konsistas de ĉiuj ''n''~~×~~×''n'' (reala, reela) matricoj kun la [[komutilo]] (servanta, deĵoranta) kiel la (Mensogi, Kuŝi) krampo. Kiel dukto, Gl(''n'','''R''') estas ne [[Koneksa spaco\|koneksa]] sed iom havas du [[Koneksa komponanto\|koneksaj komponantoj]]: la matricoj kun pozitiva determinanto kaj la aĵoj kun negativa determinanto. La [[identa komponanto]], signifis per Gl<sup>+</sup>(''n'', '''R'''), konsistas de la (reala, reela) ''n''~~×~~×''n'' matricoj kun pozitiva determinanto. Ĉi tiu estas ankaŭ (Mensogi, Kuŝi) grupo de dimensio ''n''<sup>2</sup>; ĝi havas la sama (Mensogi, Kuŝi) algebro kiel Gl(''n'','''R'''). La grupo Gl(''n'','''R''') estas ankaŭ [[Kompakta spaco\|_noncompact_]]. La [[maksimuma kompakta subgrupo]] de Gl(''n'', '''R''') estas la [[Perpendikulara grupo\|perpendikulara grupa]] O(''n''), dum la maksimuma kompakta subgrupo de Gl<sup>+</sup>(''n'', '''R''') estas la [[speciala perpendikulara grupo]] _SO_(''n''). Kiel por _SO_(''n''), la grupo Gl<sup>+</sup>(''n'', '''R''') estas ne [[simple koneksa]] (escepti kiam ''n''=1), sed iom havas [[fundamenta grupo]] izomorfia al '''Z''' por ''n''=2 aŭ '''Z'''<sub>2</sub> por ''n''>2. Linio 32: La ĝenerala lineara Gl(''n'','''C''') super la kampo de [[kompleksaj nombroj]] estas ''komplekso'' (Mensogi, Kuŝi) grupo de kompleksa dimensio ''n''<sup>2</sup>. Kiel (reala, reela) (Mensogi, Kuŝi) grupa ĝi havas dimensio 2''n''<sup>2</sup>. La aro de ĉiuj (reala, reela) matricoj (formoj, formas) (reala, reela) (Mensogi, Kuŝi) subgrupo. La (Mensogi, Kuŝi) algebro korespondanta al Gl(''n'','''C''') konsistas de ĉiuj ''n''~~×~~×''n'' kompleksaj matricoj kun la [[komutilo]] (servanta, deĵoranta) kiel la (Mensogi, Kuŝi) krampo. Malverŝajne la (reala, reela) (kesto, okazo), Gl(''n'','''C''') estas [[Koneksa spaco\|koneksa]]. Ĉi tiu sekvas, en parto, ekde la multiplika grupo de kompleksaj nombroj '''C'''<sup>~~×~~×</_sup_> estas koneksa. La grupa dukto Gl(''n'','''C''') estas ne kompakta; iom ĝia [[maksimuma kompakta subgrupo]] estas la [[unuargumenta grupo]] U(''n''). Kiel por U(''n''), la grupa dukto Gl(''n'','''C''') estas ne [[simple koneksa]] sed havas [[fundamenta grupo]] izomorfia al '''Z'''. ==Super finiaj kampoj== Linio 41: La (mendi, ordo) de Gl(''n'', ''q'') estas: :(''q''<sup>''n''</sup> - 1)(''q''<sup>''n''</sup> - ''q'')(''q''<sup>''n''</sup> - ''q''<sup>2</sup>) ~~…~~… (''q''<sup>''n''</sup> - ''q''<sup>''n''-1</sup>) Ĉi tiu povas esti montrita per (kalkulo, kalkulanta) la eblaj kolumnoj de la matrico: la unua kolumno povas esti io sed la nula kolumno; la (sekundo, dua) kolumno povas esti io sed la (obloj, oblas) de la unua kolumno, kaj tiel plu Linio 55: La speciala lineara grupo, _SL_(''n'', ''F''), estas la grupo de ĉiuj matricoj kun [[determinanto]] 1. (Tiu, Ke, Kiu) ĉi tiu (formoj, formas) grupo sekvas de la regulo de multipliko de (determinantoj, determinantas). _SL_(''n'', ''F'') estas [[normala subgrupo]] de Gl(''n'', ''F''). Se ni skribi ''F''<sup>~~×~~×</_sup_> por la multiplika grupo de ''F'' (ekskludanta 0), tiam la determinanto estas [[grupa homomorfio]] :_det_: Gl(''n'', ''F'') ~~→~~→ ''F''<sup>~~×~~×</_sup_>. La [[Kerno (algebro)\|kerno]] de la mapo estas (justa, ĵus) la speciala lineara grupo. Per la unua izomorfia teoremo ni vidi (tiu, ke, kiu) Gl(''n'',''F'')/_SL_(''n'',''F'') estas izomorfia al ''F''<sup>~~×~~×</_sup_>. Fakte, Gl(''n'', ''F'') povas esti skribita kiel duonrekta (produkto, produto) de _SL_(''n'', ''F'') per ''F''<sup>~~×~~×</_sup_>: :Gl(''n'', ''F'') = _SL_(''n'', ''F'') &#_x22CA_; ''F''<sup>~~×~~×</_sup_> Kiam ''F'' estas '''R''' aŭ '''C''', _SL_(''n'') estas (Mensogi, Kuŝi) subgrupo de Gl(''n'') de dimensio ''n''<sup>2</sup> ~~−~~− 1. La (Mensogi, Kuŝi) algebro de _SL_(''n'') konsistas de ĉiuj ''n''~~×~~×''n'' matricoj super ''F'' kun nuliĝanta spuro. La (Mensogi, Kuŝi) krampo estas donita per la [[komutilo]]. La speciala lineara grupo _SL_(''n'', '''R''') povas esti karakterizita kiel la grupo de ''[[volumeno]] kaj [[Orientiĝo (matematiko)\|orientiĝo]] konfitanta'' linearaj transformoj de '''R'''<sup>''n''</sup>. Linio 70: ===Diagonalaj subgrupoj=== La aro de ĉiuj (neŭtrigebla, inversigebla) [[Diagonala matrico\|diagonalaj matricoj]] (formoj, formas) subgrupo de Gl(''n'', ''F'') izomorfia al (''F''<sup>~~×~~×</_sup_>)<sup>''n''</sup>. En kampoj ŝati '''R''' kaj '''C''', ĉi tiuj esti konforma laŭ _rescaling_ la spaco; la (do, tiel) (nomita, vokis) _dilations_ kaj (kuntiroj, kuntiras). '''skalara matrico''' estas diagonala matrico kiu estas konstanto (tempoj, tempas) la [[identa matrico]]. La aro de ĉiuj nenulaj skalaraj matricoj, iam signifis Z(''n'', ''F''), (formoj, formas) subgrupo de Gl(''n'', ''F'') izomorfia al ''F''<sup>~~×~~×</_sup_> . Ĉi tiu grupo estas la [[Centro de grupo\|centro]] de Gl(''n'', ''F''). En aparta, ĝi estas normala, abela subgrupo. La centro de _SL_(''n'', ''F''), signifis _SZ_(''n'', ''F''), estas simple la aro de ĉiu skalara matrica unuhava determinanto. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) _SZ_(''n'', '''C''') estas izomorfia al la ''n''(th, -a) (radikoj, radikas) de unueco. Linio 94: [[Kategorio:Grupa teorio]] [[ca:Grup lineal general]] [[de:Allgemeine lineare Gruppe]] [[en:General linear group]]

Ĝenerala lineara grupo: Malsamoj inter versioj