|
[[Image:Plot-exponential-decay.png|thumb|400px|Eksponentaj funkciaj disfaloj kun malsamaj rapidoj]]
{{polurinda movu|Eksponenta funkcia kadukiĝo}}
Kvanto estas dirita al esti kun rezervo pri '''eksponenta funkcia kadukiĝo''' se ĝi malgrandiĝas je kurzo proporcie kun ĝia valoro. Signmaniere, ĉi tiu povas esti esprimita kiel jena [[diferenciala ekvacio]], kie ''N'' estas la kvanto kaj λ estas [[Negativa kaj nenegativa nombroj|pozitiva nombro]] (nomita, vokis) la '''kadukiĝa konstanto''':
Kvanto estas sub '''eksponenta disfalo''' se ĝi malgrandiĝas je kurzo proporcia kun ĝia valoro. Ĉi tio povas esti esprimita kiel jena [[diferenciala ekvacio]], kie ''N'' estas la kvanto kaj λ estas [[negativa kaj nenegativa nombroj|pozitiva nombro]] nomata kiel la '''disfala konstanto''':
:<math>\frac{dN}{dt} = -\lambda N.</math>
: <math>\frac{dN}{dt} = -\lambda N</math>
La solvaĵo al ĉi tiu ekvacio estas
:<math>N = Ce^{-\lambda t}. \,</math>
Ĉi tiu estas la (formo, formi) de la ekvaciaekvacio tiokiu estas plej kutime kutimauzata por priskribi eksponentaeksponentan funkciafunkcian kadukiĝodisfalon. La konstanto de integralado <math>''C</math>'' estas ofte skribitaskribsta kiel <math>N_0</math> ekdeĉar ĝi signifas la originalaoriginalan kvantokvanton.
== Solvo de la diferenciala ekvacio ==
== (Mezuranta, Mezuro) (ratoj, kurzoj, kurzas) de kadukiĝo: duoniĝtempo kaj averaĝa vivperiodo ==
La ekvacio kiu priskribas la eksponentan funkcian disfalon estas
Grava karakterizo de eksponenta funkcia kadukiĝo estas la tempo postulis por la kadukiĝanta kvanto al fali al duono de ĝia komenca valoro. Ĉi tiu tempo estas (nomita, vokis) la ''[[duoniĝtempo]]'', kaj ofte signifis per la simbolo <math>t_{1/2}</math>. La ekvacia priskribanta duoniĝtempo estas
: <math>t_\frac{1/2dN}{dt} = -\frac{\lnlambda 2}{\lambda}.N</math>
Disfendante la variablojn rezultas
Iu (formoj, formas) de eksponenta funkcia kadukiĝo havi alternativa karakterizado. Se la kadukiĝanta kvanto estas la nombro de diskretaj eroj de [[aro]], ĝi estas ebla al komputi la averaĝa longo de tempo por kiu ero restas en la aro. Ĉi tiu estas (nomita, vokis) la ''[[meznombra vivperiodo]]'', kaj estas priskribita per la ekvacio
: <math>\tau = \frac{1dN}{N} = -\lambda}. dt</math>
Integralante rezultas
Jeno (baremo, tabelo, tablo) montras la malpligrandiĝo de la kvanto en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la nombro de duono-loĝas _elapsed_.
:<math>\ln N = -\lambda t + D </math>
{| border="1"
! Duono-loĝas !! Centono de kvanto cetera
:<math>N = Ce^{-\lambda t} </math>
kie <math>C = e^D</math>
== Kurzo de disfalo: duoniĝtempo kaj averaĝa vivperiodo ==
Grava karakterizo de eksponenta disfalo estas la tempo postulata por la disfalanta kvanto por fali al duono de ĝia komenca valoro. Ĉi tiu tempo estas nomata kiel la ''[[duoniĝtempo]]'', kaj ofte skribat kiel <math>t_{1/2}</math>. La ekvacio priskribanta duoniĝtempon estas
: <math>N(t_{1/2}) = \frac{N(0)}{2}</math>
kaj do
: <math>t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}</math>
Iuj formoj de eksponenta disfalo havas alternativan karakterizadon. Se la disfalanta kvanto estas la kvanto de diskretaj eroj de [[aro]], eblas komputi la [[aritmetika meznombro|averaĝan]] longon de tempo por kiu ero restas en la aro. Ĉi tio estas nomata kiel la [[meznombra vivperiodo]], kaj estas priskribata per la ekvacio
:<math>\tau = \langle t \rangle = \int_{0}^{\infty} t \cdot c \cdot N_0 e^{-\lambda t}\, dt</math>
kie ''c'' estas konstanta tia ke probablo de la tuto estu 1. Ĝi estas kalkulata surbaze de tio ke
:<math>1 = \int_{0}^{\infty}c \cdot N_0 e^{-\lambda t}\, dt = c \cdot \frac{N_0}{\lambda}</math>
kaj do
:<math>c = \frac{\lambda}{N_0}</math>
De ĉi ĉio
:<math>\tau = \int_{0}^{\infty} \lambda t e^{-\lambda t}\, dt = \frac{1}{\lambda}</math>
La vivtempo de ĉi aparta ero estas tiam de [[eksponenta distribuo]].
Jena tabelo montras la malpligrandiĝon de la kvanto:
{| class = wikitable
! Duoniĝtempoj trapasis !! Centonoj de kvanto ankoraŭ restas
|-
|0 || 100%
|-
|1 || 50%
|-
|2 || 25%
|-
|3 || 12.,5%
|-
|4 || 6.,25%
|-
|5 || 3.,125%
|-
|6 || 1.,5625%
|-
|7 || 0.,78125%
|}
=== Disfalo per du aŭ pli multaj procezoj ===
== Solvaĵo de la diferenciala ekvacio ==
Kvanto povas disfali tra du aŭ pli multaj malsamaj procezoj samtempe. Ĉi tiuj procezoj povas havi malsamajn probablojn de okazo, kaj tial okazi je malsama kurzoj kun malsamaj duoniĝtempoj. Ekzemple, ĉe du samtempaj disfalaj procezoj
La ekvacio (tiu, ke, kiu) priskribas eksponenta funkcia kadukiĝo estas
: <math>-\frac{dN(t)}{dt} = -N\lambda _1 + N\lambda _2 = (\lambda _1 + \lambda _2)N</math>
kaj la disfalo de la kvanto ''N'' estas donita per:
:<math>\frac{dN}{N} = -\lambda dt.</math>
: <math>N(t) = N_0 e^{-\lambda _1 t} e^{-\lambda _2 t} = N_0 e^{-(\lambda _1 + \lambda _2) t}</math>
Integralanta, ni havi
La tuteca duoniĝtempo <math>T _{1/2}</math> tiam estas
:<math>\ln N = -\lambda t + D \,</math>
:<math>NT_{1/2} = Ce^\frac{-\lambdaln t2}{\lambda _1 + \,lambda _2} </math>
aŭ, en per la apartaj duoniĝtempoj
kie <math>C = e^D.</math>
: <math>T_{1/2} = \frac{1}{\frac{1}{t _1} + \frac{1}{t_2} } = \frac{t _1 t _2}{t _1 + t_2} </math>
=== Kadukiĝo per du aŭ pli procezoj ===
Kvanto (majo, povas) kadukiĝo tra du aŭ pli malsamaj procezoj samtempe. Ĉi tiuj procezoj (majo, povas) havi malsama (probabloj, probablas) de okazanta, kaj tial estos okazi je malsama (ratoj, kurzoj, kurzas) kun malsama duono-loĝas. Ekzemple, ĉe du samtempaj kadukiĝaj procezoj, la kadukiĝo de la kvanto ''N'' estas donita per:
kie <math>t _1</math> estas la duoniĝtempo de la unua procezo, kaj <math>t _2</math> estas la duona vivo de la dua procezo.
:<math>N(t) = N_0 e^{-\lambda _1 t} e^{-\lambda _2 t} = N_0 e^{-(\lambda _1 + \lambda _2) t}</math>
== Aplikoj kaj ekzemploj ==
La tuteca duoniĝtempo <math>T _{1/2}</math> povas esti montrita al esti:
Eksponenta disfalo okazas en larĝa diversaĵo de situacioj. La plejparto de ĉi tiuj estas en la domajno de la [[naturscienco]]j. Ĉiu apliko de [[matematiko]] al la socia scienco aŭ [[homa scienco]] estas riska kaj malcerta, pro la eksterordinara komplekseco de homa konduto. Tamen, kelkaj malglate eksponentej disfalantaj fenomenoj estas identigitaj ankaŭ tie.
:<math>T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda _1 + \lambda _2} \,</math>
Multaj disfalaj procezoj kiuj estas ofte traktataj kiel eksponentaj, estas reale nur eksponentaj se la specimeno estas granda kaj la [[leĝo de grandaj nombroj]] veras. Por malgrandaj specimenoj, pli ĝenerala analitiko estas necesa, por [[procezo de Poisson]].
aŭ, en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la du duono-loĝas:
=== Naturscienco ===
:<math>T_{1/2} = \frac{t _1 t _2}{t _1 + t_2} \,</math>
* En specimeno de [[radioaktiva izotopo]] aŭ alia partikloj kiuj spertas radioaktivan disfalon al malsama stato, la kvanto de partikloj en la originala stato sekvas eksponentan funkcian disfalon.
kie <math>t _1</math> estas la duoniĝtempo de la unua procezo, kaj <math>t _2</math> estas la duona vivo de la (sekundo, dua) procezo.
* Se objekto je unu [[temperaturo]] estas eksponita al mediumo de alia temperaturo, la temperatura diferenco inter la objekto kaj la mediumo sekvas eksponentan funkcian disfalon.
== Aplikoj kaj (ekzemploj, ekzemplas) ==
* La kurzoj de certaj tipoj de kemiaj reakcioj dependas de la koncentriteco de unu aŭ alia fonta substanco. Ĉi tia reakcia kurzo do sekvas eksponentan funkcian disfalon. Ekzemple, [[enzimo]]-katalizitaj reakcioj kondutas ĉi tiel.
Eksponenta funkcia kadukiĝo okazas en larĝa (diversaj, diversaĵo) de (situacioj, situacias). La plejparto de ĉi tiuj fali enen la domajno de la [[Naturscienco|natursciencoj]]. (Ĉiu, Iu) apliko de [[matematiko]] al la socia scienco aŭ [[homa scienco]] estas riska kaj malcerta, pro la eksterordinara komplekseco de homa konduto. Tamen, kelkaj malglate eksponentaj funkciaj fenomenoj havi estas (identigita, identigita) tie kiel bone.
* Atmosfera premo malgrandiĝas eksponente kun pligrandiĝo de [[alto]] pli supre de marnivelo, je kurzo de proksimume 12% por 1000 m.
Multaj kadukiĝaj procezoj (tiu, ke, kiu) estas ofte (traktita, kuracita) kiel eksponenta funkcio, estas (reale, reele) nur eksponenta funkcia ĝisrevido kiel la specimeno estas granda kaj la [[leĝo de grandaj nombroj]] tenas. Por malgrandaj specimenoj, pli ĝenerala analitiko estas necesa, (kalkulanta, kalkulo) por _Poisson_ procezo.
* La [[elektra ŝargo]] (aŭ, ekvivalente, la potencialo) havata en [[kondensatoro]] disfalas eksponente tra paralela al ĝi [[rezistilo]]. Tiam ''λ=1/(RC)'' kie ''C'' estas la [[kapacitanco]] kaj ''R'' estas la [[rezistanco]]. Plu, la speciala okazo de kondensatoro disŝarganta tra kelkaj [[paralelaj rezistiloj]] estas ekzemplo de multaj disfalaj procezoj, kun ĉiu rezistilo prezentanta apartan procezon. Fakte, la esprimo por la ekvivalenta rezistanco de du rezistiloj en paralelo similas al la esprimo por la duoniĝtempo kun du disfalaj procezoj.
=== Naturscienco ===
* En specimeno de _radionuclides_ aŭ alia (partikloj, partiklas) (tiu, ke, kiu) _undergo_ radioaktiva kadukiĝo al malsama (ŝtato, stato, stati), la nombro de (partikloj, partiklas) en la originala (ŝtato, stato, stati) sekvas eksponenta funkcia kadukiĝo, kiel longa kiel estas multaj _radionuclides_ cetera.
* [[Vibrado]] trankviliĝas eksponente.
* Se objekto je unu [[temperaturo]] estas eksponita al mediumo de alia temperaturo, la temperatura diferenco inter la objekto kaj la mediumo sekvas eksponenta funkcia kadukiĝo. Vidi ankaŭ Neŭtona leĝo de malvarmetanta.
* En [[farmakologio]], la korpo [[metabolo|metabolas]] multajn esencojn en eksponenta maniero. La duoniĝtempo de drogo estas mezuro de tio kiel rapide la drogo estas metabolata per la korpo.
* La (ratoj, kurzoj, kurzas) de certa (klavas, tipoj) de (kemiaĵo, kemia) (reagoj, reagas) dependi sur la kunmetigo de unu aŭ alia _reactant_. Ĉi tiu reago (ratoj, kurzoj, kurzas) (sekve, sinsekve) sekvi eksponenta funkcia kadukiĝo. Ekzemple, [[Enzimo|(enzimo, fermento)]]-_catalyzed_ (reagoj, reagas) konduti tiamaniere.
=== Socia scienco ===
* Atmosfera premo malgrandiĝas eksponente kun pligrandiĝanta alto pli supre (marnivelo, nAP, oceannivelo), je kurzo de pri 12% por _1000m_.
* La populareco de furoroj, [[modo]]j kaj alia kultura [[memeo]]j (ekzemple, servado de popularaj [[filmo]]j) ofte disfalas eksponente.
* La [[elektra ŝargo]] (aŭ, ekvivalente, la potencialo) butikis sur [[Kondensatoro|kondensatoraj]] kadukiĝoj eksponente, se la kondensatoro (spertoj, spertas) konstanto ekstera (ŝargi, ŝarĝi). (Plue, la speciala okazo de kondensatoro eksiganta tra kelka paralelo [[Rezistilo|(rezistiloj, rezistas)]] (konstruas, faras) (interezanta, interesanta) ekzemplo de multaj kadukiĝaj procezoj, kun ĉiu rezistilo (figuranta, prezentanta) apartigi procezo. Fakte, la esprimo por la ekvivalenta rezisto de du (rezistiloj, rezistas) en paralelo (speguloj, spegulas) la ekvacio por la duoniĝtempo kun du kadukiĝaj procezoj.)
* La kampo de [[lingva historio]] provas difini tempon pasintan post eko de diverĝenco de du [[lingvo]]j de komuna pralingvo, uzante la supozon ke lingvaj ŝanĝoj estas je neŝanĝiĝema kurzo; kun donita ĉi tiu supozo, oni atendi ke la simileco inter ili (la kvanto de propraĵoj de la lingvoj kiuj estas ankoraŭ identaj) malgrandiĝas eksponente.
* Vibrada kadukiĝo eksponente; ĉi tiu karakterizo estas ofte uzita en kreanta _ADSR_ (kovertoj, kovertas, envelopoj, envelopas, envolvaĵoj, envolvaĵas) en (sinteziloj, sintezas).
* En [[farmakologio]] kaj _toxicology_, ĝi estas fundamenti (tiu, ke, kiu) la korpo [[Metabolo|_metabolizes_]] multaj administris (esencoj, esencas) en eksponenta funkcia maniero (vidi ''_clearance_''). La "duoniĝtempo" de (drogo, kuracilo, narkotaĵo) estas mezuri de kiel rapide la (drogo, kuracilo, narkotaĵo) estas _metabolized_ per la korpo.
=== Socia scienco ===
* La populareco de furoroj, [[Modo|(modoj, modas, manieroj, manieras)]] kaj alia kultura [[Memeo|(memeoj, memeas)]] (ekzemple, servado de popularaj [[Kino|filmoj]]) ofte kadukiĝoj eksponente.
* En historio de scienco, iuj kredas ke la korpo de scio de ĉiu aparta scienco estas laŭgrade dispruvata laŭ eksponenta disfala ŝablono.
* La kampo de _glottochronology_ provas al difini la tempo _elapsed_ ekde la diverĝenco de du [[Lingvo|lingvoj]] de komuna radiko, uzanta la (premiso, supozo) (tiu, ke, kiu) lingva ŝanĝas estas prezentita je neŝanĝiĝema kurzo; donita ĉi tiu (premiso, supozo), ni atendi la simileco inter ilin (la nombro de propraĵoj de la lingvo (tiu, ke, kiu) estas ankoraŭ identa) al malgrandiĝi eksponente.
== Vidu ankaŭ ==
* En historio de scienco, iu kredi (tiu, ke, kiu) la korpo de scio de (ĉiu, iu) aparta scienco estas (laŭgrade, pomalmulte) _disproven_ laŭ eksponenta funkcia kadukiĝa ŝablono (vidi duoniĝtempo de scio).
* [[Eksponento]]
==Vidi ankaŭ==
* [[Eksponenta funkcio]]
* Kurza leĝo, en kemio
* [[Eksponenta funkcia kresko]]
* [[Disfalo]]
[[Kategorio:Matematiko]]
| 